Kalkulačka povrchu telesa otáčania
Vypočítajte povrch opísaný, keď sa graf f(x) otočí o celú otočku okolo osi x na intervale [a, b].
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 až 1
Ako táto kalkulačka funguje?
Povrch telesa otáčania okolo osi x je S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx. Tento nástroj numericky derivuje f centrálnou diferenciou a integruje kompozitným Simpsonovým pravidlom na 1000 paneloch, pričom vráti opísaný povrch pre vami zvolenú funkciu a medze a a b.
Vzorec
How this is calculated
Zvoľte funkciu f(x) a integračné medze a a b. Keď otáčate krivku y = f(x) okolo osi x, každý bod opisuje kružnicu s polomerom |f(x)| a nekonečne malá dĺžka oblúka ds = √(1 + f′(x)²) dx opisuje tenkú frustum s bočným povrchom 2π·|f(x)|·ds. Integráciou dostaneme celkový povrch S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.
Derivát f′(x) je numericky odhadnutý symetrickým centrálnym diferenčným kvocientom, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) s h = 1e-6, čo je presné do druhého rádu. Určitý integrál je potom vyhodnotený kompozitným Simpsonovým pravidlom na n = 1000 podintervaloch s chybou O(h⁴), ktoré veľmi presne spracúva hladké integrandy. Ak zadáte a > b, medze sa prehodia tak, aby plocha zostala kladná.
Absolútna hodnota |f(x)| zaručuje, že polomer je nezáporný aj tam, kde f klesá pod os. Výsledky predpokladajú, že f je spojitá a diferencovateľná na [a, b]; ostré rohy alebo zvislé dotyčnice (napríklad √x pri x = 0) môžu mierne znížiť presnosť. Jednotky výsledku sú druhou mocninou jednotiek používaných pre x a f.
Často kladené otázky
Ak f(x) = 0 na celom intervale (napríklad sin(x) otočený cez symetrickú oblasť), polomer je nulový a žiadny povrch sa nevytvorí. Zvoľte medze, kde |f(x)| je kladné.
Táto kalkulačka otáča krivku okolo osi x. Pri otáčaní okolo osi y by ste namiesto toho integrovali 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx.
Kompozitné Simpsonovo pravidlo na 1000 paneloch spolu s derivátom z centrálnych diferencií dáva pre hladké funkcie veľa správnych číslic; menšie chyby možno očakávať len blízko singularít alebo zvislých dotyčníc.
Známe aj ako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka povrchu telesa otáčania [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka povrchu telesa otáčania." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka povrchu telesa otáčania," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
@misc{wecalculate_surface_area_of_revolution_calculator, title = {Kalkulačka povrchu telesa otáčania}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/surface-area-of-revolution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám táto kalkulačka?