Функція Ейлера (Фі)
Функція Ейлера φ(n) підраховує, скільки цілих чисел від 1 до n не мають спільних дільників із n, крім 1.
Count of integers in 1..n coprime to 36
12
coprimeCoprime to n
33.3%
Sharing a factor
66.7%
- 1
Distinct prime factors of n
2, 3 - 2
Apply product formula φ(n) = n × Π(1 − 1/p)
36 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12
Як працює цей калькулятор?
Функція Ейлера φ(n) підраховує цілі числа від 1 до n, взаємно прості з n. Розкладіть n на різні прості p і обчисліть φ(n) = n · Π(1 − 1/p). Відношення взаємно простих φ(n)/n дорівнює цьому добутку і відображає імовірність того, що випадкове ціле число менше n взаємно просте з n.
Формула
How this is calculated
Введіть одне додатне ціле число n (n ≥ 1). Калькулятор розкладає n на прості множники методом пробних ділень, знаходячи кожне різне просте p, що ділить n. Повторні простові дільники об'єднуються, тому для функції Ейлера важлива лише множина різних простих.
Починаючи з φ = n, результат множиться на (1 − 1/p) для кожного різного простого p, що реалізується як φ = φ − φ/p для уникнення дрейфу з рухомою точкою; кінцеве значення округляється до найближчого цілого. Це формула добутку φ(n) = n · Π(1 − 1/p), яка справедлива, оскільки функція Ейлера мультиплікативна відносно взаємно простих степенів простих. Відношення φ(n)/n дорівнює тому самому добутку і означає ймовірність того, що випадкове ціле в діапазоні 1..n взаємно просте з n.
Граничні випадки: φ(1) = 1 за домовленістю, а для простого n маємо φ(n) = n − 1 з одним простим множником — самим n. Введення мають бути цілими додатними числами; нецілі, значення менше 1 або надто великі n (більше 10^12) відхиляються. Результати — чисті підрахунки без фізичних одиниць.
Поширені запитання
За домовленістю φ(1) = 1, оскільки 1 вважається взаємно простим із самим собою і немає простих множників, які зменшували б підрахунок.
Просте число p не має спільних дільників ні з одним із 1, 2, …, p − 1, тому всі p − 1 цих цілих взаємно прості з ним, і лише сам p виключається.
Ні. У добутку Π(1 − 1/p) фігурують лише різні прості дільники n; їхні кратності поглинаються початковим множником n.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Функція Ейлера (Фі) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/euler-totient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Функція Ейлера (Фі)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/euler-totient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Функція Ейлера (Фі)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/euler-totient-calculator
@misc{wecalculate_euler_totient_calculator, title = {Функція Ейлера (Фі)}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/euler-totient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?