TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Усі калькулятори
Advanced

Калькулятор оберненого елемента за модулем

Обчисліть мультиплікативний обернений елемент цілого числа a за модулем m за допомогою розширеного алгоритму Евкліда.
Integer to invert
Must be greater than 1
Modular inverse
3^-1 = 4 (mod 11)
Inverse x
4
a reduced mod m
3
gcd(a, m)
1
Check (a·x) mod m
1
01.42.84.15.56.98.39.611Inverse x lies within [0, m)
Результати є приблизними оцінками лише для загального ознайомлення та не є професійною порадою — завжди самостійно перевіряйте важливі результати, перш ніж покладатися на них. Прочитати повне застереження.
Швидка відповідь

Як працює цей калькулятор?

Обернений елемент a за модулем m — це ціле число x з [0, m), при якому a·x ≡ 1 (mod m). Воно існує лише тоді, коли gcd(a, m) = 1, і знаходиться за допомогою розширеного алгоритму Евкліда, потім нормалізується до додатнього лишку. Якщо a і m мають спільний множник, оберненого елемента не існує.

Формула
a · x ≡ 1 (mod m), існує тоді і тільки тоді, коли gcd(a, m) = 1
How this is calculated

Число a зводиться за модулем m до діапазону [0, m), а модуль m повинен бути цілим числом, більшим за 1. Потім розширений алгоритм Евкліда запускається на (a mod m, m), видаючи як найбільший спільний дільник gcd(a, m), так і коефіцієнт Безу x такий, що a·x + m·y = gcd(a, m).

Обернений елемент за модулем існує лише тоді, коли gcd(a, m) = 1. Коли він існує, сирий коефіцієнт x може бути від'ємним, тому він нормалізується до [0, m) за допомогою ((x mod m) + m) mod m. Повернений обернений елемент задовольняє (a · x) mod m = 1, що показано у статистиці перевірки. Якщо gcd(a, m) ≠ 1, оберненого елемента не існує, і замість нього повідомляється дільник.

Уся арифметика внутрішньо використовує BigInt для уникнення втрати точності з великими цілими числами. Введені дані повинні бути цілими числами; нецілі значення відхиляються. Від'ємні значення a обробляються зведенням, тому, наприклад, -8 mod 11 трактується як 3.

Поширені запитання

Обернений елемент a за модулем m існує лише тоді, коли a і m взаємно прості, тобто gcd(a, m) = 1. Якщо вони мають спільний множник, більший за 1, жодне ціле число x не задовольняє a·x ≡ 1 (mod m).

Ні. Модуль може бути будь-яким цілим числом, більшим за 1. Коли m просте, кожне a від 1 до m−1 має обернений елемент, оскільки всі вони взаємно прості з m, але складені модулі також працюють для будь-якого a, взаємно простого з m.

Число a спочатку зводиться до діапазону [0, m) перед запуском алгоритму, тому від'ємні вхідні дані обробляються за своїм додатнім лишком. Отриманий обернений елемент також нормалізується до [0, m).

Також відомий як

обернений за модулем
обернений елемент за модулем
мультиплікативний обернений
розширений алгоритм евкліда
mod inverse
modular inverse

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор оберненого елемента за модулем [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/modular-inverse-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор оберненого елемента за модулем." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/modular-inverse-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор оберненого елемента за модулем," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/modular-inverse-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_modular_inverse_calculator, title = {Калькулятор оберненого елемента за модулем}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/modular-inverse-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Чи допоміг вам цей калькулятор?

Пов'язані калькулятори

Калькулятор модульного піднесення до степеня

Ефективно обчисліть (base^exponent) mod m за допомогою швидкого піднесення до степеня зведенням у квадрат із великими цілими числами.

Advanced

Калькулятор залишку від ділення (modulo)

Знайдіть остачу та частку від ділення з варіантами усіченого, підлогового та евклідового modulo для від'ємних чисел.

Intermediate

Калькулятор обернених тригонометричних функцій

Обчисліть arcsin, arccos або arctan значення та отримайте результуючий кут у градусах і радіанах.

Beginner

Калькулятор прямої та оберненої пропорційності

Знайдіть коефіцієнт пропорційності k та передбачте нове значення, використовуючи пряму або обернену залежність.

Intermediate

Калькулятор оберненої матриці

Знайдіть обернену матрицю до матриці 2×2 або 3×3 за допомогою визначника та приєднаної матриці. Введіть рядки чисел; матриця не повинна бути виродженою.

Intermediate

2×2 Matrix Calculator

Find the determinant, trace, rank, eigenvalues and inverse of any 2×2 matrix in one step, with an animated transformation.

Intermediate