中点法则计算器
通过对每个子区间中点处的函数值求矩形面积之和，估计定积分的值。
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0.5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5.25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0.5 × 5.25 = 2.6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
这个计算器是如何工作的？
中点法则将 [a, b] 分成 n 个宽度为 Δx = (b − a)/n 的等宽条带，在每个条带的中点处求值，将所有高度乘以 Δx 求和，近似定积分。对线性函数结果精确，误差以 1/n² 的速率递减，n 越大结果越精准。
公式
How this is calculated
中点法则是数值积分中的黎曼求和法。选择函数 f(x)、下限 a、上限 b 和等子区间数 n。计算器首先计算公共宽度 Δx = (b − a) / n，将 [a, b] 分成 n 个条带。
对每个条带 i（从 0 到 n − 1），在中点 mₚ = a + (i + 0.5)·Δx 处求函数值，将 f(mₚ) 作为矩形高度。每个高度乘以 Δx 得到矩形面积，所有矩形面积之和即为近似值 Δx · Σ f(mₚ)。使用中点而非左端点或右端点通常能抵消过高和过低的误差，因此中点法则对线性函数精确，整体具有二阶精度。
积分限可按任意顺序给出，但积分保留 a → b 的符号约定。当 n 增大时误差大致以 1/n² 递减；对于曲率急剧变化或存在奇点的函数（例如 1/x 穿越零点）需要更多子区间，或将积分域移至奇点之外。角度相关选项（sin、cos）使用弧度。
常见问题
在中点采样可平衡矩形在曲线上方和下方的部分，因此在相同 n 值下，中点法则比左或右黎曼求和更精确，对直线函数精确无误。
增加子区间数 n。中点法则的误差大约与 1/n² 成正比递减，因此将 n 翻倍可使误差减少约四倍。
可以。若 a 大于 b，则宽度 Δx 变为负值，近似值带有正确的符号，与 ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ 一致。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 中点法则计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "中点法则计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "中点法则计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/midpoint-rule-calculator
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