模逆元计算器
使用扩展欧几里得算法计算整数 a 模 m 的乘法逆元。
这个计算器是如何工作的？
a 模 m 的逆元是 [0, m) 内满足 a·x ≡ 1 (mod m) 的整数 x。只有当 gcd(a, m) = 1 时才存在，通过扩展欧几里得算法求得后归一化为正余数。若 a 和 m 有公因子，则逆元不存在。
公式
How this is calculated
将 a 对 m 取余，归一化到 [0, m) 范围内，模数 m 必须为大于 1 的整数。然后对 (a mod m, m) 运行扩展欧几里得算法，同时得到最大公因数 gcd(a, m) 和 Bezout 系数 x，满足 a·x + m·y = gcd(a, m)。
模逆元只有在 gcd(a, m) = 1 时才存在。当逆元存在时，原始系数 x 可能为负数，因此使用 ((x mod m) + m) mod m 将其归一化到 [0, m) 范围内。返回的逆元满足 (a · x) mod m = 1，验证统计数据中有所显示。若 gcd(a, m) ≠ 1，则逆元不存在，改为报告公因数。
所有运算在内部使用 BigInt，以避免大整数精度损失。输入必须为整数；非整数值将被拒绝。a 的负值通过取余处理，例如 -8 mod 11 被视为 3。
常见问题
a 模 m 的逆元只有在 a 和 m 互质（即 gcd(a, m) = 1）时才存在。若它们有大于 1 的公因子，则不存在整数 x 满足 a·x ≡ 1 (mod m)。
不需要。模数可以是任何大于 1 的整数。当 m 为质数时，从 1 到 m−1 的每个 a 都有逆元，因为它们都与 m 互质；但对于与 m 互质的 a，合数模数同样适用。
在运行算法之前，a 首先归一化到 [0, m) 范围内，因此负数输入按其正余数处理。所求逆元也被归一化到 [0, m) 范围内。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 模逆元计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/modular-inverse-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "模逆元计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/modular-inverse-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "模逆元计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/modular-inverse-calculator
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