牛顿法计算器
牛顿法通过反复沿切线追踪到 x 轴，快速逼近函数的根。
Function f(x)
Converged in 5 iterations
这个计算器是如何工作的？
牛顿法从初始猜测值 x₀ 出发，通过迭代 x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) 求 f(x) 的根。本工具使用数值导数，当步长小于 1e-10 或迭代 50 次后停止，报告近似根和所用迭代次数。
公式
How this is calculated
选择函数 f(x) 和初始猜测值 x₀。计算器迭代 Newton-Raphson 更新公式 x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n)，其中导数 f′(x_n) 用中心差分数值估计：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，取 h = 1e-6。这样无需解析导数，同时保持精度。
迭代持续到步长 |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| 低于 1e-10（收敛）或已完成 50 步。最终 x 被报告为近似根，同时显示迭代次数和残差 f(根)——对于良好的解，残差应接近零。
牛顿法在简单根附近收敛很快（二次收敛），但若初始猜测值距根较远、某次迭代点导数为零，或函数存在平坦区域或多个根，则可能失败或发散。选择接近预期根的 x₀ 并检查残差可防范这些边界情况。
常见问题
若初始猜测值距根较远、f′(x) 在某个迭代点为零或极小，或函数振荡，则迭代可能发散或在值之间跳动。请尝试更接近预期根的起始点。
使用中心差分数值近似：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，取 h = 1e-6，无需手动推导解析导数。
残差是 f(根)：函数在计算所得根处的值。残差非常接近零表明估计值准确。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 牛顿法计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "牛顿法计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "牛顿法计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/newtons-method-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？