一元二次方程求解器
求解任何一元二次方程并查看其根和判别式。
两个实根
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
判别式
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
公式
How this is calculated
二次方程具有 ax² + bx + c = 0 的形式，其中 a、b 和 c 是你输入的数字。系数 a 乘以 x²，且必须不为零——若为零，方程就成了一次方程而非二次方程。系数 b 乘以 x，而 c 是独立的常数项。求解器应用二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，它给出抛物线穿过零点处的精确 x 值。
关键量是判别式 D = b² − 4ac，会被首先算出。它的符号无需任何额外工作就能决定根的性质：D > 0 给出两个不同的实根，D = 0 给出一个重复的实根（抛物线恰好与 x 轴相切），D < 0 给出一对共轭复根，写作 re ± im·i。
输入是没有单位的纯数字，因此结果带有你的问题所隐含的任何单位。计算使用标准浮点运算，所以非常大的系数或彼此极为接近的根可能在显示值中出现微小的舍入差异。
示例
| 输入 | 结果 |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
关于此计算器
一元二次方程求解器求出满足形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程的 x 值，其中 a、b、c 为常数且 a 不为零。这些解被称为方程的根，在图形上它们是抛物线 y = ax^2 + bx + c 与横轴相交的点。
求解器应用求根公式：x =（-b 加或减 (b^2 - 4ac) 的平方根）除以 2a。平方根下的表达式 b^2 - 4ac 称为判别式，它在您还没算完之前就决定了根的性质。如果判别式为正，则有两个不同的实根；如果恰好为零，则有一个重根（实根）；如果为负，则有两个涉及虚数单位 i 的共轭复根。
使用本工具时，请完全按照方程中出现的样子输入三个系数 a、b、c，包括任何负号。求解器会报告判别式，告诉您存在多少个实根或复根，然后给出根本身。先显示判别式可以让您理解结果，而不只是读到一个数字。
解读输出就是把根与判别式对应起来。两个实根意味着抛物线在两处与横轴相交；一个重根意味着它只在其顶点处与横轴相切；复根则意味着抛物线根本不会触及横轴。您始终可以通过将一个实根代回原方程来验证它，结果应当为零。
常见的错误包括把 a 输入为零，这根本不是二次方程而是线性方程，以及在誊写系数时漏掉一个负号，从而悄无声息地改变了答案。人们有时还会忘记公式内部的减法会翻转符号，以及负判别式并不意味着没有解，只是说明解是复数而非实数。
常见问题
判别式是 b^2 - 4ac，即求根公式中平方根下的部分。它告诉您根的性质：为正表示两个不同的实根，为零表示一个重根（实根），为负表示两个共轭复根。
那么它根本不是二次方程，而是一个线性方程 bx + c = 0，只有单一解 x = -c/b。真正的二次方程要求 a 非零，否则 x^2 项消失，求根公式便无法适用。
可以，当判别式恰好等于零时。在这种情况下，公式给出单个重根 x = -b/(2a)，在图形上抛物线只是在其顶点处与横轴相切，而非穿过它。
它意味着方程没有实数解，但有两个复数解，写成形如 p 加或减 qi 的共轭形式。抛物线永远不会穿过横轴，但这些根仍然存在于复数系统之中。
把它代回原方程 ax^2 + bx + c。如果它是真正的根，表达式应当求值为零（或在允许舍入误差的情况下极接近于零）。这对两个实根都适用。
对于 ax^2 + bx + c = 0，两个根之和为 -b/a，之积为 c/a。这些关系被称为韦达定理，无需重做完整计算即可快速核对求解器的输出。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 一元二次方程求解器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "一元二次方程求解器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "一元二次方程求解器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/quadratic-equation-solver
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