旋转曲面面积计算器
计算 f(x) 的图形绕 x 轴在区间 [a, b] 上旋转一整圈所扫出的曲面面积。
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 至 1
这个计算器是如何工作的？
曲线绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx。本工具对 f 进行中心差分数值微分，并用复合辛普森法（1000 个子区间）进行积分，返回您所选函数和积分限 a、b 对应的旋转曲面面积。
公式
How this is calculated
选择函数 f(x) 及积分上下限 a 和 b。将曲线 y = f(x) 绕 x 轴旋转时，每个点画出半径为 |f(x)| 的圆，且一段无穷小弧长 ds = √(1 + f′(x)²) dx 扫出侧面积为 2π·|f(x)|·ds 的薄截锥面。对其积分即得总曲面面积 S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx。
导数 f′(x) 使用对称中心差分数值估计：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，其中 h = 1e-6，精度为二阶。随后用 n = 1000 个子区间的复合辛普森法对定积分求值，误差为 O(h⁴)，对光滑被积函数精度极高。若输入 a > b，则自动交换上下限，确保面积为正。
取绝对值 |f(x)| 保证半径非负，即使 f 在轴线以下也不例外。计算结果假定 f 在 [a, b] 上连续且可微；尖角或垂直切线（例如 √x 在 x = 0 处）可能使精度略有下降。结果的单位为 x 和 f 所用单位的平方。
常见问题
若 f(x) 在区间上恒为 0（例如 sin(x) 在对称区间上旋转），则半径为零，不会生成任何曲面。请选择 |f(x)| 为正的积分限。
本计算器将曲线绕 x 轴旋转。若要绕 y 轴旋转，则需改为积分 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx。
使用 1000 个子区间的复合辛普森法结合高阶中心差分导数，对光滑函数可给出多位正确有效数字；仅在奇点或垂直切线附近才会出现较小误差。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 旋转曲面面积计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "旋转曲面面积计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "旋转曲面面积计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？