泰勒多项式计算器
构建函数关于中心 c 的 n 阶 Taylor 多项式，在点 x 处求值，并衡量其与精确值的接近程度。
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
这个计算器是如何工作的？
Taylor 多项式使用 Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k! 在中心 c 附近近似函数。选择函数、中心、求值点和阶数，工具将返回近似值、精确值和绝对误差，并绘制两条曲线的对比图，直观展示远离 c 时拟合精度的下降。
公式
How this is calculated
Taylor 多项式利用所选中心 c 处的各阶导数在该点附近近似光滑函数。每项添加 f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!：常数项再现 f(c)，一次项匹配斜率，二次项匹配曲率，以此类推直至 n 阶。当 c = 0 时即为 Maclaurin 级数。
用户选择函数、中心 c、求值点 x 和阶数 n。导数 f⁽ᵏ⁾(c) 通过 k 阶中心有限差分数值计算，再除以 k! 并乘以 (x − c) 的对应次幂后求和。计算器输出近似值 Pₙ(x)、精确值 f(x) 以及绝对误差 |f(x) − Pₙ(x)|。
随着 n 增大以及 x 更接近 c，精度提高，因为余项的行为类似 (x − c)ⁿ⁺¹。对于 ln(1 + x)，定义域要求 x > −1；1/(1 − x) 在 x = 1 处有奇点，其 Taylor 级数仅在收敛半径 |x − c| 以内收敛。由于导数由有限差分估计，阶数过高时可能累积微小的舍入误差。
常见问题
Maclaurin 级数就是以 c = 0 为中心的 Taylor 级数。将中心设为 0 即可还原 Maclaurin 级数。
Taylor 余项随 (x − c)ⁿ⁺¹ 增大，因此远离中心的点需要更高的阶数 n 才能保持精度，且某些函数只在有限半径内收敛。
每个 f⁽ᵏ⁾(c) 由 k 阶中心有限差分近似，再结合阶乘和幂次项构成多项式。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 泰勒多项式计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "泰勒多项式计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "泰勒多项式计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/taylor-polynomial-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？