三角数计算器
求第 n 个三角数，列出序列 T(1…n)，并检验某个值是否为三角数。
Sum of all integers from 1 to 10
- 1
n + 1
10 + 1 = 11 - 2
n × (n + 1)
10 × 11 = 110 - 3
T(n) = n × (n + 1) ÷ 2
110 ÷ 2 = 55The Gauss formula: T(n) equals the sum 1 + 2 + … + n.
这个计算器是如何工作的？
第 n 个三角数为 T(n) = n(n+1)/2，即 1+2+3+…+n 的和。输入 n 可即时得到 T(n) 并查看完整序列图。当 8x+1 是完全平方数时，整数 x 为三角数；例如 55 是三角数，因为 8×55+1 = 441 = 21²，即 T(10)。
公式
How this is calculated
输入正整数 n（项的索引）。第 n 个三角数是前 n 个自然数之和：1 + 2 + … + n。无需逐项相加，计算器使用封闭形式的高斯公式 T(n) = n(n+1)/2，对任意 n 均精确且即时。
计算器还会构建并绘制序列 T(1), T(2), …, T(n)。由于 T(n) 以 n²/2 的速度增长，面积曲线呈明显的二次（向上弯曲）形状。为保证显示性能，列出/绘制的序列上限为前 200 项，但标题处的 T(n) 始终直接由公式对所输入的精确 n 计算。
可选测试值利用数论事实：非负整数 x 为三角数当且仅当 8x + 1 是完全平方数。若成立，则项索引可通过 (√(8x+1) − 1) / 2 还原。输入值视为整数处理；分数或负 n 将被拒绝，且测试仅适用于非负整数。
常见问题
即 1 + 2 + 3 + … + n 的和，等于 n(n+1)/2。例如 T(5) = 5×6/2 = 15。
非负整数 x 为三角数当且仅当 8x + 1 是完全平方数。例如 8×55 + 1 = 441 = 21²，所以 55 是三角数（即 T(10)）。
三角数以二次方式增长：T(n) = n(n+1)/2 ≈ n²/2，每步增量越来越大，因此绘制的曲线向上弯曲。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 三角数计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/triangular-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "三角数计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/triangular-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "三角数计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/triangular-number-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？