卡特兰数计算器
求第 n 个卡特兰数，观察序列 1, 1, 2, 5, 14, 42, … 随 n 增大的爆炸式增长。
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3.333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3.333333 = 1,430
这个计算器是如何工作的？
第 n 个卡特兰数为 Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!)。它统计平衡括号、满二叉树、格路径和多边形三角剖分的数量。序列从 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … 开始，增长约如 4ⁿ。输入任意整数 n ≥ 0 以获取 Cₙ 和完整增长曲线。
公式
How this is calculated
输入非负整数 n。卡特兰数 Cₙ 统计大量组合对象：正确匹配 n 对括号的方式数、具有 n+1 片叶子的满二叉树数、保持在对角线以下的单调格路径数，以及凸 (n+2) 边形的三角剖分数——均等于同一 Cₙ。
封闭形式为 Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!)，等价于中心二项式系数 C(2n, n) 除以 (n+1)。直接计算阶乘很快溢出，因此本计算器使用精确整数递推 C₀ = 1 和 C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2)。每步乘以整数值因子，使运行值在双精度允许的范围内保持精确，并构建完整序列 C₀…Cₙ 绘制于增长曲线中。
这些值是无量纲计数，因此只有整数 n ≥ 0 有意义；小数输入向下取整。由于 Cₙ 增长约为 4ⁿ / (n^{3/2}√π)，超过约 n = 30 时数值超出 64 位浮点数的精确整数范围，超过约 n ≈ 170 时完全溢出，因此输入上限为 170，大数以科学记数法显示。
常见问题
序列为 C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, C₈ = 1430。
由递推关系，Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1)，当 n 增大时趋向 4。这反映了渐近增长 Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π)。
卡特兰数指数增长。超过约 n ≈ 170 时，值超过最大可表示双精度数（~1.8×10³⁰⁸），因此更大的输入无法用标准浮点精确计算。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 卡特兰数计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "卡特兰数计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "卡特兰数计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/catalan-number-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？