Калкулатор за числа на Каталан
Намерете n-тото число на Каталан и вижте как редицата 1, 1, 2, 5, 14, 42, … нараства експлозивно с увеличаване на n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1430
Как работи този калкулатор?
n-тото число на Каталан е Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). То брои балансирани скоби, пълни двоични дървета, решетъчни пътища и триангулации на многоъгълници. Редицата започва с 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … и расте приблизително като 4ⁿ. Въведете всяко цяло число n ≥ 0, за да получите Cₙ и пълната крива на растеж.
Формула
How this is calculated
Въведете неотрицателно цяло число n. Числата на Каталан Cₙ броят огромно семейство от комбинаторни обекти: броя на начините за правилно съчетаване на n двойки скоби, броя на пълните двоични дървета с n+1 листа, броя на монотонните решетъчни пътища, които остават под диагонала, и броя на триангулациите на изпъкнал (n+2)-ъгълник — всички равни на едно и също Cₙ.
Затворената форма е Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), еквивалентно на централния биномен коефициент C(2n, n), разделен на (n+1). Директното изчисляване на факториели бързо прелива, така че този калкулатор използва точната целочислена рекурентна формула C₀ = 1 и C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Всяка стъпка умножава по целочислен множител, поддържайки текущата стойност точна толкова дълго, колкото позволява двойната точност, и изграждайки пълната редица C₀…Cₙ, изобразена в кривата на растеж.
Стойностите са безразмерни бройки, така че е смислено само цяло число n ≥ 0; дробен вход се закръгля надолу. Тъй като Cₙ расте приблизително като 4ⁿ / (n^{3/2}√π), числата надвишават точния целочислен диапазон на 64-битово число с плаваща запетая отвъд около n = 30 и преливат изцяло след n ≈ 170, така че входът е ограничен до 170, а големите резултати се показват в научна нотация.
Често задавани въпроси
Редицата започва с C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 и C₈ = 1430.
От рекурентната формула Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), което клони към 4 с нарастване на n. Това отразява асимптотичния растеж Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Числата на Каталан растат експоненциално. Отвъд n ≈ 170 стойността надвишава максималното представимо число с двойна точност (~1.8×10³⁰⁸), така че по-големите входни данни не могат да бъдат изчислени точно със стандартна плаваща запетая.
Известен също като
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калкулатор за числа на Каталан [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/bg/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калкулатор за числа на Каталан." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/bg/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калкулатор за числа на Каталан," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/bg/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Калкулатор за числа на Каталан}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/bg/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Помогна ли ви този калкулатор?