Калкулатор за производна по направление
Намерете колко бързо се изменя функция f(x, y) в точка, докато се движите по зададено направление.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Как работи този калкулатор?
Производната по направление D_u f измерва колко бързо f(x, y) се изменя в точка при движение по избрано направление. Тя е равна на скаларното произведение на градиента ∇f = (fx, fy) с единичното направление û. Този инструмент оценява градиента чрез централни разлики, нормира вектора ви и отчита D_u f заедно с частните производни.
Формула
How this is calculated
Изберете функция f(x, y) и точка (x, y), след което задайте вектор на направлението (u1, u2). Калкулаторът първо оценява градиента ∇f = (fx, fy), използвайки симетричното (централно) разностно частно с малка стъпка h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) и fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Централните разлики се използват, защото грешката им е O(h²), което ги прави далеч по-точни от едностранните разлики.
След това направлението се нормира до единичен вектор û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), тъй като производната по направление е дефинирана за направление с единична дължина. Резултатът е скаларното произведение D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, което дава мигновената скорост на изменение на f в точката в това направление.
Единиците следват f: D_u f има единиците на f за единица изминато разстояние. Ако векторът на направлението е нулевият вектор, дължината му е нула и резултатът е недефиниран, така че този случай не връща отговор. Максималната възможна производна по направление в точка е равна на големината на градиента |∇f| и настъпва в направлението на самия градиент; движението перпендикулярно на градиента дава нула.
Често задавани въпроси
Производната по направление е дефинирана по единично направление. Нормирането на (u1, u2) по неговата дължина премахва ефекта от големината на вектора, така че резултатът отразява само направлението, а не колко дълъг е векторът.
Централните разлики с h = 1e-5 имат грешка, пропорционална на h², така че за гладки функции градиентът обикновено е точен до много значещи цифри, съвпадайки тясно с точните аналитични частни производни.
Направлението на самия градиент ∇f, където D_u f е равно на големината на градиента |∇f|. Обратното направление дава най-отрицателната стойност, а направленията, перпендикулярни на ∇f, дават нула.
Известен също като
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калкулатор за производна по направление [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/bg/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калкулатор за производна по направление." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/bg/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калкулатор за производна по направление," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/bg/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Калкулатор за производна по направление}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/bg/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Помогна ли ви този калкулатор?