Калкулатор за градиентен вектор
Изчислете градиента ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) на функция на две променливи в избрана точка, заедно с неговата големина.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Как работи този калкулатор?
Градиентът ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) събира частните производни на функцията и сочи към нейното най-стръмно нарастване. Този инструмент оценява и двете частни производни числено чрез централни разлики в избраната от вас точка и отчита компонентите плюс големината |∇f| = √(fx² + fy²), скоростта на най-бързо изменение там.
Формула
How this is calculated
Градиентът на скаларна функция f(x, y) е векторът от нейните първи частни производни, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Той сочи в направлението на най-стръмно нарастване на f, а неговата големина |∇f| дава скоростта на това нарастване. Изберете функция от списъка и въведете точката (x, y), в която искате да бъде изчислен градиентът.
Всяка частна производна се оценява числено с помощта на симетричната (централна) разностна формула, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) с малка стъпка h = 1e-5, и аналогично за ∂f/∂y. Централните разлики имат точност от втори ред, така че за гладки функции резултатът съвпада с точната аналитична производна до няколко десетични знака. След това големината е евклидовата норма на двата компонента.
Входовете x и y са обикновени реални числа в каквито единици използва функцията; компонентите на градиента носят единици на f за единица x (или y). Избягвайте точки, в които функцията е недефинирана или сингулярна — например f = ln(x² + y²) разходи в началото, а много малък знаменател там прави числената производна ненадеждна. В локален екстремум или седлова точка градиентът е нулевият вектор, така че големината е нула.
Често задавани въпроси
Това е най-стръмната скорост на изменение на функцията в тази точка. Градиентният вектор сочи в направлението на най-бързо нарастване, а |∇f| е колко бързо f нараства в това направление за единица разстояние.
Централните разлики позволяват на инструмента да изчислява градиента за всяка избрана функция без символно диференциране. Със стъпка h = 1e-5 те са точни до приблизително 1e-10 относителна грешка за гладки функции.
В критичните точки — локални максимуми, минимуми и седлови точки — и двете частни производни се анулират, така че ∇f = (0, 0) и големината е 0.
Известен също като
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калкулатор за градиентен вектор [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/bg/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калкулатор за градиентен вектор." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/bg/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калкулатор за градиентен вектор," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/bg/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Калкулатор за градиентен вектор}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/bg/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Помогна ли ви този калкулатор?