Решаване на квадратно уравнение
Решете всяко квадратно уравнение и вижте неговите корени и дискриминанта.
Два реални корена
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Дискриминанта
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Формула
How this is calculated
Квадратното уравнение има вида ax² + bx + c = 0, където a, b и c са числата, които въвеждате. Коефициентът a умножава x² и не трябва да е нула — ако беше, уравнението щеше да е линейно, а не квадратно. Коефициентът b умножава x, а c е самостоятелният свободен член. Решаващото устройство прилага квадратната формула x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, която дава точните стойности на x, където параболата пресича нулата.
Ключовата величина е дискриминантата, D = b² − 4ac, която се изчислява първа. Нейният знак определя характера на корените без допълнителна работа: D > 0 дава два различни реални корена, D = 0 дава един повтарящ се реален корен (параболата само докосва оста x), а D < 0 дава двойка комплексно-спрегнати корени, записани като re ± im·i.
Входните данни са чисти числа без единици, така че резултатите носят каквито единици подразбира вашата задача. Изчисленията използват стандартна аритметика с плаваща запетая, така че много големи коефициенти или корени, изключително близки един до друг, могат да покажат малки разлики от закръгляване в показваните стойности.
Примери
| Входни данни | Резултат |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
За този калкулатор
Решител на квадратни уравнения намира стойностите на x, които удовлетворяват уравнение от вида ax^2 + bx + c = 0, където a, b и c са константи и a не е нула. Тези решения се наричат корени на уравнението, а графично те са точките, в които параболата y = ax^2 + bx + c пресича хоризонталната ос.
Решителят прилага квадратната формула, x = (-b плюс или минус квадратният корен от (b^2 - 4ac)), разделено на 2a. Изразът под квадратния корен, b^2 - 4ac, се нарича дискриминанта и той определя естеството на корените още преди да приключите изчислението. Ако дискриминантата е положителна, има два различни реални корена, ако е точно нула, има един повторен реален корен, а ако е отрицателна, има два комплексно спрегнати корена, включващи имагинерната единица i.
За да използвате инструмента, въведете трите коефициента a, b и c точно както се появяват в уравнението ви, включително всякакви отрицателни знаци. Решителят отчита дискриминантата, казва ви колко реални или комплексни корена съществуват и след това дава самите корени. Показването на дискриминантата първо ви позволява да разберете резултата, а не просто да прочетете число.
Тълкуването на резултата е свързано със съпоставянето на корените с дискриминантата. Два реални корена означават, че параболата пресича оста на две места; един повторен корен означава, че тя само се докосва до оста при върха си; а комплексните корени означават, че параболата изобщо не достига оста. Винаги можете да проверите реален корен, като го заместите обратно в оригиналното уравнение, което трябва да върне нула.
Честите грешки включват въвеждане на a като нула, което изобщо не е квадратно, а линейно уравнение, и изпускане на знак минус при преписване на коефициентите, което тихо променя отговора. Хората също понякога забравят, че изваждането вътре във формулата може да обърне знаците и че отрицателна дискриминанта не означава, че няма решение, а само че решенията са комплексни, а не реални.
Често задавани въпроси
Дискриминантата е b^2 - 4ac, частта под квадратния корен в квадратната формула. Тя ви казва естеството на корените: положителна означава два различни реални корена, нула означава един повторен реален корен, а отрицателна означава два комплексно спрегнати корена.
Тогава това изобщо не е квадратно уравнение, а линейно, bx + c = 0, с едно решение x = -c/b. Истинското квадратно уравнение изисква a да е различно от нула, иначе членът x^2 изчезва и квадратната формула не може да се приложи.
Да, когато дискриминантата е равна точно на нула. В този случай формулата дава един повторен корен x = -b/(2a), а графично параболата само се докосва до хоризонталната ос при върха си, вместо да я пресича.
Тя означава, че уравнението няма реални решения, а две комплексни, записани като спрегнати от вида p плюс или минус qi. Параболата никога не пресича хоризонталната ос, но корените все пак съществуват в рамките на системата на комплексните числа.
Заместете го обратно в оригиналното уравнение ax^2 + bx + c. Ако стойността е истински корен, изразът трябва да се изчисли до нула (или изключително близо до нея, отчитайки закръгляването). Това работи и за двата реални корена.
За ax^2 + bx + c = 0 двата корена се събират до -b/a и се умножават до c/a. Тези съотношения, известни като формули на Виет, дават бърз начин да проверите изхода на решителя, без да преправяте цялото изчисление.
Известен също като
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Решаване на квадратно уравнение [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/bg/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Решаване на квадратно уравнение." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/bg/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Решаване на квадратно уравнение," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/bg/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Решаване на квадратно уравнение}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/bg/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Помогна ли ви този калкулатор?