Kalkulačka Catalanových čísel
Najděte n-té Catalanovo číslo a podívejte se, jak posloupnost 1, 1, 2, 5, 14, 42, … exploduje s rostoucím n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1 430
Jak tato kalkulačka funguje?
n-té Catalanovo číslo je Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Počítá vyvážené závorky, úplné binární stromy, mřížkové cesty a triangulace mnohoúhelníku. Posloupnost začíná 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … a roste zhruba jako 4ⁿ. Zadejte libovolné celé číslo n ≥ 0 a získejte Cₙ i celou křivku růstu.
Vzorec
How this is calculated
Zadejte nezáporné celé číslo n. Catalanova čísla Cₙ počítají obrovskou rodinu kombinatorických objektů: počet způsobů, jak správně spárovat n párů závorek, počet úplných binárních stromů s n+1 listy, počet monotónních mřížkových cest, které zůstávají pod diagonálou, a počet triangulací konvexního (n+2)-úhelníku — vše se rovná témuž Cₙ.
Uzavřený tvar je Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), ekvivalentně centrální binomický koeficient C(2n, n) vydělený (n+1). Přímý výpočet faktoriálů rychle přeteče, takže tato kalkulačka používá přesnou celočíselnou rekurenci C₀ = 1 a C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Každý krok násobí celočíselným faktorem, čímž udržuje průběžnou hodnotu přesnou tak dlouho, jak to dvojnásobná přesnost dovolí, a sestavuje celou posloupnost C₀…Cₙ vykreslenou v křivce růstu.
Hodnoty jsou bezrozměrné počty, takže smysl má pouze celé n ≥ 0; zlomkový vstup se zaokrouhlí dolů. Protože Cₙ roste zhruba jako 4ⁿ / (n^{3/2}√π), čísla překročí přesný celočíselný rozsah 64bitového floatu za zhruba n = 30 a zcela přetečou za n ≈ 170, takže vstup je omezen na 170 a velké výsledky se zobrazují ve vědecké notaci.
Často kladené otázky
Posloupnost začíná C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 a C₈ = 1430.
Z rekurence plyne Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), což s rostoucím n směřuje ke 4. To odráží asymptotický růst Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Catalanova čísla rostou exponenciálně. Za n ≈ 170 hodnota překročí maximální reprezentovatelné číslo s dvojnásobnou přesností (~1,8×10³⁰⁸), takže větší vstupy nelze standardní pohyblivou řádovou čárkou přesně vypočítat.
Také známé jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka Catalanových čísel [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/cs/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka Catalanových čísel." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/cs/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka Catalanových čísel," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/cs/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Kalkulačka Catalanových čísel}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/cs/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám tato kalkulačka?