Kalkulačka směrové derivace
Zjistěte, jak rychle se funkce f(x, y) mění v bodě, když se pohybujete podél zadaného směru.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Jak tato kalkulačka funguje?
Směrová derivace D_u f měří, jak rychle se f(x, y) mění v bodě při pohybu podél zvoleného směru. Rovná se gradientu ∇f = (fx, fy) skalárně vynásobenému jednotkovým směrem û. Tento nástroj odhadne gradient centrálními diferencemi, normalizuje váš vektor a uvede D_u f spolu s parciálními derivacemi.
Vzorec
How this is calculated
Vyberte funkci f(x, y) a bod (x, y), poté zadejte směrový vektor (u1, u2). Kalkulačka nejprve odhadne gradient ∇f = (fx, fy) pomocí symetrického (centrálního) diferenčního podílu s malým krokem h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) a fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Centrální diference se používají, protože jejich chyba je O(h²), což je činí mnohem přesnějšími než jednostranné diference.
Směr se poté normalizuje na jednotkový vektor û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), protože směrová derivace je definována pro směr jednotkové délky. Výsledkem je skalární součin D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, který dává okamžitou rychlost změny f v bodě v tomto směru.
Jednotky se řídí f: D_u f má jednotky f na jednotku uražené délky. Pokud je směrový vektor nulový vektor, jeho délka je nulová a výsledek je nedefinovaný, takže tento případ nevrátí žádnou odpověď. Maximální možná směrová derivace v bodě se rovná velikosti gradientu |∇f| a nastává ve směru samotného gradientu; pohyb kolmo na gradient dává nulu.
Často kladené otázky
Směrová derivace je definována podél jednotkového směru. Normalizace (u1, u2) jeho délkou odstraní vliv velikosti vektoru, takže výsledek odráží pouze směr, nikoli to, jak dlouhý vektor je.
Centrální diference s h = 1e-5 mají chybu úměrnou h², takže pro hladké funkce je gradient obvykle přesný na mnoho platných číslic a těsně odpovídá přesným analytickým parciálním derivacím.
Směr samotného gradientu ∇f, kde se D_u f rovná velikosti gradientu |∇f|. Opačný směr dává nejzápornější hodnotu a směry kolmé na ∇f dávají nulu.
Také známé jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka směrové derivace [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/cs/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka směrové derivace." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/cs/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka směrové derivace," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/cs/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kalkulačka směrové derivace}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/cs/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám tato kalkulačka?