Řešič kvadratických rovnic
Vyřešte jakoukoli kvadratickou rovnici a zobrazte její kořeny a diskriminant.
Dva reálné kořeny
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminant
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Vzorec
How this is calculated
Kvadratická rovnice má tvar ax² + bx + c = 0, kde a, b a c jsou čísla, která zadáte. Koeficient a násobí x² a nesmí být nulový — pokud by byl, rovnice by byla lineární, nikoliv kvadratická. Koeficient b násobí x a c je samostatný konstantní člen. Řešič uplatňuje kvadratický vzorec x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, který udává přesné hodnoty x, kde parabola protíná nulu.
Klíčovou veličinou je diskriminant D = b² − 4ac, který se počítá jako první. Jeho znaménko bez další práce rozhodne o povaze kořenů: D > 0 dává dva různé reálné kořeny, D = 0 dává jeden dvojnásobný reálný kořen (parabola se pouze dotýká osy x) a D < 0 dává dvojici komplexně sdružených kořenů zapsaných jako re ± im·i.
Vstupy jsou čistá čísla bez jednotek, takže výsledky nesou jakékoliv jednotky, které váš problém implikuje. Výpočty používají standardní aritmetiku s plovoucí desetinnou čárkou, takže velmi velké koeficienty nebo kořeny extrémně blízko sebe mohou v zobrazených hodnotách vykazovat drobné zaokrouhlovací rozdíly.
Příklady
| Vstup | Výsledek |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
O této kalkulačce
Řešitel kvadratických rovnic najde hodnoty x, které splňují rovnici tvaru ax^2 + bx + c = 0, kde a, b a c jsou konstanty a a není nula. Tato řešení se nazývají kořeny rovnice a graficky jsou to body, kde parabola y = ax^2 + bx + c protíná vodorovnou osu.
Řešitel používá kvadratický vzorec, x = (-b plus nebo minus druhá odmocnina z (b^2 - 4ac)) děleno 2a. Výraz pod odmocninou, b^2 - 4ac, se nazývá diskriminant a rozhoduje o povaze kořenů ještě dříve, než dokončíte výpočet. Je-li diskriminant kladný, existují dva různé reálné kořeny, je-li přesně nula, existuje jeden dvojnásobný reálný kořen, a je-li záporný, existují dva komplexně sdružené kořeny obsahující imaginární jednotku i.
Při používání nástroje zadejte tři koeficienty a, b a c přesně tak, jak se objevují ve vaší rovnici, včetně případných záporných znamének. Řešitel uvede diskriminant, řekne vám, kolik reálných nebo komplexních kořenů existuje, a poté uvede samotné kořeny. Zobrazení diskriminantu jako prvního vám umožní výsledku porozumět, nikoli pouze přečíst číslo.
Interpretace výstupu spočívá ve spojení kořenů s diskriminantem. Dva reálné kořeny znamenají, že parabola protíná osu na dvou místech; jeden dvojnásobný kořen znamená, že se osy pouze dotýká ve svém vrcholu; a komplexní kořeny znamenají, že parabola osy vůbec nedosáhne. Reálný kořen můžete vždy ověřit jeho dosazením zpět do původní rovnice, což by mělo vrátit nulu.
Mezi časté chyby patří zadání a jako nula, což vůbec není kvadratická rovnice, ale lineární rovnice, a vynechání znaménka minus při přepisování koeficientů, což nepozorovaně změní odpověď. Lidé také někdy zapomínají, že odečítání uvnitř vzorce může převrátit znaménka, a že záporný diskriminant neznamená, že neexistuje řešení, pouze že řešení jsou komplexní, nikoli reálná.
Často kladené otázky
Diskriminant je b^2 - 4ac, část pod odmocninou v kvadratickém vzorci. Říká vám povahu kořenů: kladný znamená dva různé reálné kořeny, nula znamená jeden dvojnásobný reálný kořen a záporný znamená dva komplexně sdružené kořeny.
Pak to vůbec není kvadratická rovnice, ale lineární, bx + c = 0, s jediným řešením x = -c/b. Skutečná kvadratická rovnice vyžaduje, aby a bylo nenulové, jinak člen x^2 zmizí a kvadratický vzorec nelze použít.
Ano, když se diskriminant rovná přesně nule. V takovém případě vzorec dává jediný dvojnásobný kořen x = -b/(2a) a graficky se parabola vodorovné osy ve svém vrcholu pouze dotýká, místo aby ji protínala.
Znamená, že rovnice nemá žádná reálná řešení, ale dvě komplexní, zapsaná jako sdružené hodnoty tvaru p plus nebo minus qi. Parabola nikdy neprotíná vodorovnou osu, ale kořeny stále existují v rámci soustavy komplexních čísel.
Dosaďte jej zpět do původní rovnice ax^2 + bx + c. Pokud je hodnota skutečným kořenem, výraz by se měl vyhodnotit jako nula (nebo extrémně blízko nule, s ohledem na zaokrouhlení). Toto funguje pro oba dva reálné kořeny.
Pro ax^2 + bx + c = 0 se oba kořeny sčítají na -b/a a násobí na c/a. Tyto vztahy, známé jako Vietovy vzorce, poskytují rychlý způsob, jak ověřit výstup řešitele bez opakování celého výpočtu.
Také známé jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Řešič kvadratických rovnic [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/cs/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Řešič kvadratických rovnic." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/cs/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Řešič kvadratických rovnic," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/cs/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Řešič kvadratických rovnic}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/cs/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám tato kalkulačka?