Rechner für die eulersche Phi-Funktion (Totient)
Die eulersche Phi-Funktion φ(n) zählt, wie viele ganze Zahlen von 1 bis n außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mit n haben.
Count of integers in 1..n coprime to 36
12
coprimeCoprime to n
33.3%
Sharing a factor
66.7%
- 1
Distinct prime factors of n
2, 3 - 2
Apply product formula φ(n) = n × Π(1 − 1/p)
36 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die eulersche Phi-Funktion φ(n) zählt die ganzen Zahlen von 1 bis n, die teilerfremd zu n sind. Zerlege n in seine verschiedenen Primfaktoren p und berechne φ(n) = n · Π(1 − 1/p). Das Teilerfremd-Verhältnis φ(n)/n entspricht diesem Produkt und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine zufällige ganze Zahl unter n teilerfremd zu n ist.
Formel
How this is calculated
Gib eine einzelne positive Ganzzahl n (n ≥ 1) ein. Der Rechner zerlegt n durch Probedivision und findet jeden verschiedenen Primfaktor p, der es teilt. Wiederholte Primfaktoren werden zusammengefasst, sodass nur die Menge der verschiedenen Primfaktoren für die Phi-Funktion zählt.
Ausgehend von φ = n wird das Ergebnis für jeden verschiedenen Primfaktor p mit (1 − 1/p) multipliziert, was als φ = φ − φ/p umgesetzt wird, um Gleitkomma-Drift zu vermeiden; der endgültige Wert wird auf die nächste Ganzzahl gerundet. Dies ist die Produktformel φ(n) = n · Π(1 − 1/p), die gilt, weil die Phi-Funktion über teilerfremde Primzahlpotenzen multiplikativ ist. Das Teilerfremd-Verhältnis φ(n)/n entspricht demselben Produkt und stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass eine zufällige ganze Zahl in 1..n teilerfremd zu n ist.
Sonderfälle: φ(1) = 1 per Konvention, und eine Primzahl n liefert φ(n) = n − 1 mit sich selbst als einzigem Primfaktor. Die Eingaben müssen ganze positive Zahlen sein; Nicht-Ganzzahlen, Werte unter 1 oder extrem große n (über 10^12) werden abgelehnt. Die Ausgaben sind reine Anzahlen und haben keine physikalischen Einheiten.
Häufige Fragen
Per Konvention ist φ(1) = 1, da 1 als teilerfremd zu sich selbst gezählt wird und es keine Primfaktoren gibt, die die Anzahl verringern.
Eine Primzahl p teilt keinen Faktor mit irgendeinem von 1, 2, …, p − 1, sodass alle p − 1 dieser ganzen Zahlen teilerfremd zu ihr sind und nur p selbst ausgeschlossen bleibt.
Nein. Nur die verschiedenen Primfaktoren, die n teilen, erscheinen im Produkt Π(1 − 1/p); ihre Vielfachheiten werden im führenden Faktor n absorbiert.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für die eulersche Phi-Funktion (Totient) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/euler-totient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für die eulersche Phi-Funktion (Totient)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/euler-totient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für die eulersche Phi-Funktion (Totient)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/euler-totient-calculator
@misc{wecalculate_euler_totient_calculator, title = {Rechner für die eulersche Phi-Funktion (Totient)}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/euler-totient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Hat Ihnen dieser Rechner geholfen?