Rechner für das modulare Inverse
Berechne das multiplikative modulare Inverse einer Ganzzahl a modulo m mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Das modulare Inverse von a modulo m ist die Ganzzahl x in [0, m), für die a·x ≡ 1 (mod m). Es existiert nur, wenn gcd(a, m) = 1, und wird mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus gefunden und dann zu einem positiven Rest normalisiert. Haben a und m einen gemeinsamen Faktor, existiert kein Inverses.
Formel
How this is calculated
Die Zahl a wird modulo m in den Bereich [0, m) reduziert, und der Modul m muss eine Ganzzahl größer als 1 sein. Der erweiterte euklidische Algorithmus wird dann auf (a mod m, m) angewendet und liefert sowohl den größten gemeinsamen Teiler gcd(a, m) als auch einen Bézout-Koeffizienten x, sodass a·x + m·y = gcd(a, m).
Ein modulares Inverses existiert nur, wenn gcd(a, m) = 1. Falls ja, kann der rohe Koeffizient x negativ sein, sodass er mit ((x mod m) + m) mod m in [0, m) normalisiert wird. Das zurückgegebene Inverse erfüllt (a · x) mod m = 1, angezeigt in der Verifikationsstatistik. Ist gcd(a, m) ≠ 1, existiert kein Inverses und der Teiler wird stattdessen angegeben.
Alle Berechnungen verwenden intern BigInt, um Genauigkeitsverlust bei großen Ganzzahlen zu vermeiden. Die Eingaben müssen Ganzzahlen sein; nicht ganzzahlige Werte werden abgelehnt. Negative Werte von a werden durch Reduktion behandelt, sodass zum Beispiel -8 mod 11 als 3 behandelt wird.
Häufige Fragen
Ein Inverses von a modulo m existiert nur, wenn a und m teilerfremd sind, das heißt gcd(a, m) = 1. Haben sie einen gemeinsamen Faktor größer als 1, erfüllt keine ganze Zahl x a·x ≡ 1 (mod m).
Nein. Der Modul kann jede Ganzzahl größer als 1 sein. Ist m prim, hat jedes a von 1 bis m−1 ein Inverses, da alle teilerfremd zu m sind, aber zusammengesetzte Module funktionieren ebenfalls für jedes zu m teilerfremde a.
Die Zahl a wird vor dem Lauf des Algorithmus zuerst in den Bereich [0, m) reduziert, sodass negative Eingaben durch ihren positiven Rest behandelt werden. Das resultierende Inverse wird ebenfalls so normalisiert, dass es in [0, m) liegt.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für das modulare Inverse [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/modular-inverse-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für das modulare Inverse." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/modular-inverse-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für das modulare Inverse," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/modular-inverse-calculator
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