Negative-Binomialverteilung-Rechner

Formel

How this is calculated

Die negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung) modelliert die Anzahl der Misserfolge X = k, die vor dem r-ten Erfolg auftreten, wobei jeder unabhängige Versuch mit Wahrscheinlichkeit p gelingt. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist P(X = k) = C(k + r − 1, k) · p^r · (1 − p)^k für k = 0, 1, 2, …. Der Binomialkoeffizient zählt die Anordnungen der ersten k Misserfolge und r − 1 Erfolge unter den ersten k + r − 1 Versuchen; der letzte Versuch ist stets der r-te Erfolg. Dieser Rechner berechnet den Koeffizienten über die Log-Gamma-Funktion, sodass er für große r und k numerisch stabil bleibt.

Geben Sie r (benötigte Erfolge, eine positive ganze Zahl), p (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch zwischen 0 und 1) und k (Misserfolge) ein. Die Modusauswahl wählt zwischen einer exakten Punktwahrscheinlichkeit P(X = k), der unteren kumulativen P(X ≤ k) und dem oberen Schwanz P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Die mittlere Anzahl der Misserfolge ist r(1 − p)/p und die Varianz r(1 − p)/p², sodass die Streuung schnell wächst, wenn p sich 0 nähert.

Annahmen: Die Versuche sind unabhängig und identisch verteilt, p ist konstant und die Anzahlen sind nicht negative ganze Zahlen (k wird gerundet). Das Ergebnis ist undefiniert, wenn p ≤ 0 oder p > 1; mit p → 1 kollabiert die Verteilung in Richtung k = 0, weil Erfolge fast sofort eintreten.