Newton-Verfahren-Rechner
Das Newton-Verfahren nähert eine Nullstelle einer Funktion rasch an, indem es wiederholt der Tangente bis zur x-Achse folgt.
Function f(x)
Converged in 5 iterations
Wie funktioniert dieser Rechner?
Das Newton-Verfahren bestimmt eine Nullstelle von f(x) durch Iteration von x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) ausgehend von einem Anfangswert x₀. Dieses Werkzeug verwendet eine numerische Ableitung und stoppt, wenn der Schritt unter 1e-10 liegt oder nach 50 Iterationen, und gibt die genäherte Nullstelle sowie die Anzahl der benötigten Iterationen an.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x) und einen Anfangswert x₀. Der Rechner iteriert die Newton-Raphson-Aktualisierung x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n), wobei die Ableitung f′(x_n) numerisch mit einer zentralen Differenz geschätzt wird, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) mit h = 1e-6. Dies vermeidet die Notwendigkeit einer symbolischen Ableitung und bleibt dabei genau.
Die Iteration setzt sich fort, bis die Schrittweite |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| unter 1e-10 fällt (Konvergenz) oder 50 Schritte ausgeführt wurden. Das endgültige x wird als die genäherte Nullstelle angegeben, zusammen mit der Anzahl der Iterationen und dem Residuum f(root), das für eine gute Lösung nahe null sein sollte.
Das Newton-Verfahren konvergiert nahe einer einfachen Nullstelle sehr schnell (quadratisch), kann aber scheitern oder divergieren, wenn der Anfangswert schlecht ist, wenn die Ableitung an einem Iterationspunkt null ist oder bei Funktionen mit flachen Bereichen oder mehreren Nullstellen. Die Wahl von x₀ nahe der erwarteten Nullstelle und das Prüfen des Residuums schützen vor diesen Sonderfällen.
Häufige Fragen
Wenn der Anfangswert weit von einer Nullstelle entfernt ist, wenn f′(x) an einem Iterationspunkt null oder sehr klein ist oder wenn die Funktion oszilliert, kann die Iteration divergieren oder zwischen Werten springen. Versuche einen anderen Startpunkt näher dort, wo du die Nullstelle erwartest.
Sie wird numerisch mit einer zentralen Differenz genähert, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) mit h = 1e-6, sodass keine von Hand abgeleitete Ableitung erforderlich ist.
Das Residuum ist f(root): der Wert der Funktion an der berechneten Nullstelle. Ein Residuum sehr nahe null zeigt an, dass die Schätzung genau ist.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Newton-Verfahren-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Newton-Verfahren-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Newton-Verfahren-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/newtons-method-calculator
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