Rechner für eine Zeile des Pascalschen Dreiecks

Formel

How this is calculated

Das Pascalsche Dreieck ist das Feld der Binomialkoeffizienten, bei dem jeder Eintrag der Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge entspricht. Die einzelne Eingabe n ist die 0-indizierte Zeilennummer: Zeile 0 ist [1], Zeile 1 ist [1, 1], Zeile 2 ist [1, 2, 1] und so weiter. Der Rechner baut die Zeile iterativ auf, statt jede Fakultät einzeln zu berechnen. Er beginnt mit C(n,0) = 1 und wendet die Rekursion C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k für k = 1 bis n an. Da jeder Zwischenwert eine exakte Ganzzahl ist, vermeidet diese multiplikative Methode den Überlauf, den man beim direkten Berechnen von n! erhalten würde, und ist weit schneller.

Die Zeile hat n + 1 Glieder, ist symmetrisch (C(n,k) = C(n,n−k)) und bildet eine glockenförmige Verteilung mit Spitze in der Mitte. Die Summe aller Koeffizienten in Zeile n entspricht 2^n, was aus dem binomischen Satz mit x = y = 1 folgt: (1 + 1)^n = Σ C(n,k). Diese Koeffizienten sind genau die Multiplikatoren, die beim Ausmultiplizieren von (x + y)^n auftreten.

Die Eingabe muss eine nichtnegative Ganzzahl sein. Nicht ganzzahlige, negative oder leere Werte liefern kein Ergebnis. Für sehr großes n überschreiten die Koeffizienten die Genauigkeit der doppelten Gleitkommagenauigkeit, sodass Ergebnisse über einigen Hundert als näherungsweise zu behandeln sind.