Catalan-Zahlen-Rechner
Bestimme die n-te Catalan-Zahl und sieh, wie die Folge 1, 1, 2, 5, 14, 42, … mit wachsendem n explodiert.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1.430
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die n-te Catalan-Zahl ist Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Sie zählt balancierte Klammern, vollständige Binärbäume, Gitterpfade und Polygontriangulationen. Die Folge beginnt mit 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … und wächst etwa wie 4ⁿ. Gib eine beliebige Ganzzahl n ≥ 0 ein, um Cₙ und die vollständige Wachstumskurve zu erhalten.
Formel
How this is calculated
Gib eine nichtnegative Ganzzahl n ein. Die Catalan-Zahlen Cₙ zählen eine enorme Familie kombinatorischer Objekte: die Anzahl der Möglichkeiten, n Klammerpaare korrekt zu setzen, die Anzahl vollständiger Binärbäume mit n+1 Blättern, die Anzahl monotoner Gitterpfade, die unter der Diagonalen bleiben, und die Anzahl der Triangulationen eines konvexen (n+2)-Ecks — alle gleich demselben Cₙ.
Die geschlossene Form ist Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), gleichbedeutend mit dem zentralen Binomialkoeffizienten C(2n, n) geteilt durch (n+1). Da das direkte Berechnen von Fakultäten schnell überläuft, verwendet dieser Rechner die exakte ganzzahlige Rekursion C₀ = 1 und C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Jeder Schritt multipliziert mit einem ganzzahligen Faktor und hält den laufenden Wert so lange exakt, wie es die doppelte Genauigkeit zulässt, und baut die vollständige Folge C₀…Cₙ auf, die in der Wachstumskurve dargestellt wird.
Die Werte sind dimensionslose Anzahlen, sodass nur ganzzahliges n ≥ 0 sinnvoll ist; gebrochene Eingaben werden abgerundet. Da Cₙ etwa wie 4ⁿ / (n^{3/2}√π) wächst, überschreiten die Zahlen jenseits von etwa n = 30 den exakten Ganzzahlbereich einer 64-Bit-Gleitkommazahl und laufen ab n ≈ 170 vollständig über, sodass die Eingabe auf 170 begrenzt ist und große Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation angezeigt werden.
Häufige Fragen
Die Folge beginnt mit C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 und C₈ = 1430.
Aus der Rekursion folgt Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), was sich mit wachsendem n 4 annähert. Dies spiegelt das asymptotische Wachstum Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π) wider.
Catalan-Zahlen wachsen exponentiell. Jenseits von n ≈ 170 überschreitet der Wert die größte darstellbare Zahl mit doppelter Genauigkeit (~1,8×10³⁰⁸), sodass größere Eingaben mit Standard-Gleitkomma nicht mehr exakt berechnet werden können.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Catalan-Zahlen-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Catalan-Zahlen-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Catalan-Zahlen-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/catalan-number-calculator
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