Taylorpolynom-Rechner
Bilde das Taylorpolynom der Ordnung n einer Funktion um ein Zentrum c, werte es an einem Punkt x aus und miss, wie nahe es dem exakten Wert kommt.
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
Wie funktioniert dieser Rechner?
Ein Taylorpolynom nähert eine Funktion nahe einem Zentrum c mit Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k! an. Wähle die Funktion, das Zentrum, den Auswertungspunkt und die Ordnung; das Werkzeug liefert die Näherung, den exakten Wert und den absoluten Fehler sowie eine Darstellung beider Kurven, sodass du siehst, wie die Anpassung mit Entfernung von c nachlässt.
Formel
How this is calculated
Das Taylorpolynom nähert eine glatte Funktion nahe einem gewählten Zentrum c mithilfe ihrer Ableitungen an diesem Punkt an. Jeder Term fügt f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k! hinzu, sodass der konstante Term f(c) reproduziert, der lineare Term die Steigung trifft, der quadratische Term die Krümmung trifft und so weiter bis zur Ordnung n. Bei c = 0 ist dies die Maclaurin-Reihe.
Du wählst eine Funktion, das Zentrum c, den Auswertungspunkt x und die Ordnung n. Die Ableitungen f⁽ᵏ⁾(c) werden numerisch mit zentralen Finite-Differenzen k-ter Ordnung berechnet, dann durch k! geteilt und mit Potenzen von (x − c) multipliziert und summiert. Der Rechner gibt die Näherung Pₙ(x), den exakten Wert f(x) und den absoluten Fehler |f(x) − Pₙ(x)| an.
Die Genauigkeit verbessert sich, wenn n wächst und wenn x näher an c rückt, da das Restglied sich wie (x − c)ⁿ⁺¹ verhält. Für ln(1 + x) erfordert der Definitionsbereich x > −1, und 1/(1 − x) hat eine Singularität bei x = 1, dessen Taylor-Reihe nur für |x − c| innerhalb ihres Konvergenzradius konvergiert. Da die Ableitungen durch Finite-Differenzen geschätzt werden, können sehr hohe Ordnungen kleines Rundungsrauschen anhäufen.
Häufige Fragen
Eine Maclaurin-Reihe ist einfach eine bei c = 0 zentrierte Taylor-Reihe. Setze das Zentrum hier auf 0, um sie zu reproduzieren.
Das Taylor-Restglied skaliert mit (x − c)ⁿ⁺¹, sodass Punkte weit vom Zentrum eine höhere Ordnung n benötigen, um genau zu bleiben, und einige Funktionen nur innerhalb eines endlichen Radius konvergieren.
Jedes f⁽ᵏ⁾(c) wird mit zentralen Finite-Differenzen k-ter Ordnung genähert und dann mit dem Fakultäts- und Potenzterm kombiniert, um das Polynom zu bilden.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Taylorpolynom-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Taylorpolynom-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Taylorpolynom-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/taylor-polynomial-calculator
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