Υπολογιστής Κατευθυνόμενης Παραγώγου
Βρείτε πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση f(x, y) σε ένα σημείο καθώς κινείστε κατά μήκος μιας καθορισμένης κατεύθυνσης.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Η κατευθυνόμενη παράγωγος D_u f μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει η f(x, y) σε ένα σημείο όταν κινείστε κατά μήκος μιας επιλεγμένης κατεύθυνσης. Ισούται με την κλίση ∇f = (fx, fy) σε εσωτερικό γινόμενο με το μοναδιαίο διάνυσμα κατεύθυνσης û. Αυτό το εργαλείο εκτιμά την κλίση με κεντρικές διαφορές, κανονικοποιεί το διάνυσμά σας, και αναφέρει το D_u f μαζί με τις μερικές παραγώγους.
Τύπος
How this is calculated
Επιλέξτε μια συνάρτηση f(x, y) και ένα σημείο (x, y), στη συνέχεια δώστε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης (u1, u2). Ο υπολογιστής εκτιμά πρώτα την κλίση ∇f = (fx, fy) χρησιμοποιώντας το συμμετρικό (κεντρικό) πηλίκο διαφορών με μικρό βήμα h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) και fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Οι κεντρικές διαφορές χρησιμοποιούνται επειδή το σφάλμα τους είναι O(h²), καθιστώντας τες πολύ πιο ακριβείς από τις μονόπλευρες διαφορές.
Η κατεύθυνση στη συνέχεια κανονικοποιείται σε μοναδιαίο διάνυσμα û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), αφού η κατευθυνόμενη παράγωγος ορίζεται για κατεύθυνση μοναδιαίου μήκους. Το αποτέλεσμα είναι το εσωτερικό γινόμενο D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, που δίνει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της f στο σημείο προς αυτή την κατεύθυνση.
Οι μονάδες ακολουθούν την f: το D_u f έχει τις μονάδες της f ανά μονάδα μήκους που διανύεται. Αν το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι το μηδενικό διάνυσμα το μήκος του είναι μηδέν και το αποτέλεσμα είναι απροσδιόριστο, οπότε αυτή η περίπτωση δεν επιστρέφει απάντηση. Η μέγιστη δυνατή κατευθυνόμενη παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με το μέτρο της κλίσης |∇f| και συμβαίνει προς την κατεύθυνση της ίδιας της κλίσης· η κίνηση κάθετα προς την κλίση δίνει μηδέν.
Συχνές ερωτήσεις
Η κατευθυνόμενη παράγωγος ορίζεται κατά μήκος μιας μοναδιαίας κατεύθυνσης. Η κανονικοποίηση του (u1, u2) με το μήκος του αφαιρεί την επίδραση του μέτρου του διανύσματος ώστε το αποτέλεσμα να αντικατοπτρίζει μόνο την κατεύθυνση, όχι πόσο μακρύ είναι το διάνυσμα.
Οι κεντρικές διαφορές με h = 1e-5 έχουν σφάλμα ανάλογο του h², οπότε για ομαλές συναρτήσεις η κλίση είναι συνήθως ακριβής σε πολλά σημαντικά ψηφία, ταιριάζοντας στενά με τις ακριβείς αναλυτικές μερικές παραγώγους.
Η κατεύθυνση της ίδιας της κλίσης ∇f, όπου το D_u f ισούται με το μέτρο της κλίσης |∇f|. Η αντίθετη κατεύθυνση δίνει την πιο αρνητική τιμή, και οι κατευθύνσεις κάθετες προς το ∇f δίνουν μηδέν.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Κατευθυνόμενης Παραγώγου [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Κατευθυνόμενης Παραγώγου." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Κατευθυνόμενης Παραγώγου," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Υπολογιστής Κατευθυνόμενης Παραγώγου}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;