Υπολογιστής Αριθμητικής Παραγώγου
Εκτιμήστε τη στιγμιαία κλίση μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο χρησιμοποιώντας έναν απλό, ακριβή αριθμητικό τύπο.
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0,00001) = 4,00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0,00001) = 3,99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4,00004 − 3,99996 = 0,00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0,00008 ÷ (2 × 0,00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Αυτό το εργαλείο εκτιμά την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο a χρησιμοποιώντας τον τύπο κεντρικής διαφοράς f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Επιλέξτε μια συνάρτηση, το σημείο, και ένα μικροσκοπικό βήμα h (προεπιλογή 1e-5). Επιστρέφει την κλίση της εφαπτομένης, ακριβή στην τάξη h² χωρίς να απαιτείται συμβολικός λογισμός.
Τύπος
How this is calculated
Επιλέξτε μια συνάρτηση f από τη λίστα, το σημείο a όπου θέλετε την κλίση, και ένα μικρό βήμα h. Ο υπολογιστής αξιολογεί την f στα a+h και a−h, στη συνέχεια εφαρμόζει τον τύπο κεντρικής διαφοράς f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Αυτό υπολογίζει τον μέσο όρο των εμπρόσθιων και οπίσθιων κλίσεων, ακυρώνοντας τον όρο σφάλματος πρώτης τάξης ώστε η εκτίμηση να είναι ακριβής στην τάξη h², πολύ καλύτερη από μια μονόπλευρη διαφορά.
Η κεντρική διαφορά δεν χρειάζεται συμβολική άλγεβρα: απλώς δειγματοληπτεί τη συνάρτηση. Ένα βήμα γύρω στο h = 1e-5 ισορροπεί το σφάλμα αποκοπής (πολύ μεγάλο h) έναντι της στρογγυλοποίησης κινητής υποδιαστολής (πολύ μικρό h). Για ομαλές συναρτήσεις αυτό τυπικά δίνει 6 ή περισσότερα σωστά ψηφία. Το αποτέλεσμα είναι η εκτιμώμενη κλίση της εφαπτομένης στην y = f(x) στο x = a.
Παραδοχές: η f πρέπει να ορίζεται και να είναι πεπερασμένη στα a, a+h και a−h. Για τα ln x και sqrt x το σημείο a πρέπει να είναι θετικό· για το 1/x το σημείο a πρέπει να είναι μη μηδενικό. Κοντά σε ιδιομορφίες, γωνίες ή πολύ απότομες περιοχές η εκτίμηση υποβαθμίζεται επειδή η συνάρτηση δεν είναι πλέον ομαλή στο διάστημα δειγματοληψίας.
Συχνές ερωτήσεις
Η κεντρική διαφορά (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) είναι ακριβής στην τάξη h², ενώ η εμπρόσθια διαφορά (f(a+h) − f(a)) / h είναι μόνο τάξης h. Για το ίδιο μέγεθος βήματος ο κεντρικός τύπος δίνει πολλά περισσότερα σωστά ψηφία.
Γύρω στο 1e-5 λειτουργεί καλά για τις περισσότερες ομαλές συναρτήσεις. Πολύ μεγάλο και το σφάλμα προσέγγισης μεγαλώνει· πολύ μικρό και η στρογγυλοποίηση κινητής υποδιαστολής κυριαρχεί. Αν τα αποτελέσματα φαίνονται θορυβώδη, δοκιμάστε να αυξήσετε ελαφρώς το h.
Αυτές οι συναρτήσεις είναι απροσδιόριστες εκτός του πεδίου ορισμού τους. Τα ln x και sqrt x απαιτούν a > 0, και το 1/x απαιτεί a ≠ 0. Τα σημεία δειγματοληψίας a±h πρέπει επίσης να παραμένουν στο πεδίο ορισμού.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Αριθμητικής Παραγώγου [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Αριθμητικής Παραγώγου." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Αριθμητικής Παραγώγου," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/numerical-derivative-calculator
@misc{wecalculate_numerical_derivative_calculator, title = {Υπολογιστής Αριθμητικής Παραγώγου}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/numerical-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;