Υπολογιστής Δεύτερης Παραγώγου
Αυτός ο υπολογιστής εκτιμά τη δεύτερη παράγωγο f″(a) μιας επιλεγμένης συνάρτησης σε ένα σημείο και αναφέρει αν η καμπύλη είναι κυρτή προς τα πάνω ή προς τα κάτω εκεί.
Function f(x)
Concave up
- 1
f(a)
f(x) = x² at x = 1 = 1 - 2
f(a + h)
h = 0.0001, f(1 + 0.0001) = 1,0002Small step h = 1×10⁻⁴ used for numerical differentiation. - 3
f(a − h)
f(1 − 0.0001) = 0,9998 - 4
f''(a) = (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) ÷ h²
(1,0002 − 2 × 1 + 0,9998) ÷ 0 = 2
Πώς λειτουργεί αυτή η αριθμομηχανή;
Η δεύτερη παράγωγος f''(a) μετρά πώς αλλάζει η κλίση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Αυτό το εργαλείο την εκτιμά αριθμητικά ως (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h². Αν η f''(a) είναι θετική η καμπύλη είναι κυρτή προς τα πάνω στο a· αν είναι αρνητική είναι κυρτή προς τα κάτω· κοντά στο μηδέν υποδηλώνει σημείο καμπής.
Τύπος
How this is calculated
Επιλέξτε μια συνάρτηση f(x) από τη λίστα και ένα σημείο a. Ο υπολογιστής χρησιμοποιεί τον τύπο κεντρικής δεύτερης διαφοράς f''(a) ≈ (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h² με μικρό βήμα h = 1e-4, που προσεγγίζει την ακριβή δεύτερη παράγωγο σε δεύτερη τάξη ως προς h.
Το πρόσημο της f''(a) περιγράφει την κυρτότητα: μια θετική τιμή σημαίνει ότι το γράφημα καμπυλώνει προς τα πάνω (κυρτό προς τα πάνω, σαν φλιτζάνι) κοντά στο a, μια αρνητική τιμή σημαίνει ότι καμπυλώνει προς τα κάτω (κυρτό προς τα κάτω), και μια τιμή ουσιαστικά μηδενική υποδηλώνει σημείο καμπής ή μια τοπικά ευθεία περιοχή. Το αποτέλεσμα και η ετικέτα κυρτότητας ενημερώνονται μαζί.
Οι είσοδοι είναι αδιάστατοι πραγματικοί αριθμοί. Το σημείο a πρέπει να βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης — για παράδειγμα τα ln(x) και √x απαιτούν a > 0, και το 1/x απαιτεί a ≠ 0. Επειδή η μέθοδος είναι αριθμητική, τα αποτελέσματα για συναρτήσεις με πολύ μεγάλη καμπυλότητα ή αξιολογημένες κοντά σε ιδιομορφίες μπορούν να φέρουν μικρό σφάλμα στρογγυλοποίησης· η σχεδιασμένη καμπύλη κοντά στο a σας βοηθά να δείτε την καμπή οπτικά.
Συχνές ερωτήσεις
Μια θετική δεύτερη παράγωγος σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω (καμπυλώνει προς τα πάνω) σε αυτό το σημείο, ενώ μια αρνητική τιμή σημαίνει ότι είναι κυρτή προς τα κάτω. Μια τιμή κοντά στο μηδέν συχνά υποδεικνύει σημείο καμπής.
Χρησιμοποιεί έναν τύπο πεπερασμένων διαφορών με ένα μικροσκοπικό βήμα h αντί για συμβολική παραγώγιση, οπότε υπάρχει ένα μικρό αριθμητικό σφάλμα. Για ομαλές συναρτήσεις μακριά από ιδιομορφίες η εκτίμηση είναι πολύ κοντά στην ακριβή τιμή.
Μόνο σημεία εντός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Για τα ln(x) και √x επιλέξτε a μεγαλύτερο από 0, και για το 1/x αποφύγετε a = 0· διαφορετικά η συνάρτηση είναι απροσδιόριστη και δεν εμφανίζεται αποτέλεσμα.
Γνωστό και ως
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Υπολογιστής Δεύτερης Παραγώγου [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/el/calculator/second-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Υπολογιστής Δεύτερης Παραγώγου." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/el/calculator/second-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Υπολογιστής Δεύτερης Παραγώγου," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/el/calculator/second-derivative-calculator
@misc{wecalculate_second_derivative_calculator, title = {Υπολογιστής Δεύτερης Παραγώγου}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/el/calculator/second-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;