Υπολογιστής Διανύσματος Κλίσης

Τύπος

How this is calculated

Η κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης f(x, y) είναι το διάνυσμα των πρώτων μερικών παραγώγων της, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Δείχνει προς την κατεύθυνση της πιο απότομης αύξησης της f, και το μέτρο της |∇f| δίνει τον ρυθμό αυτής της αύξησης. Επιλέξτε μια συνάρτηση από τη λίστα και εισαγάγετε το σημείο (x, y) στο οποίο θέλετε να αξιολογηθεί η κλίση.

Κάθε μερική παράγωγος εκτιμάται αριθμητικά χρησιμοποιώντας τον συμμετρικό (κεντρικό) τύπο διαφορών, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) με μικρό βήμα h = 1e-5, και παρόμοια για το ∂f/∂y. Οι κεντρικές διαφορές έχουν ακρίβεια δεύτερης τάξης, οπότε για ομαλές συναρτήσεις το αποτέλεσμα ταιριάζει με την ακριβή αναλυτική παράγωγο σε αρκετά δεκαδικά ψηφία. Το μέτρο είναι στη συνέχεια η Ευκλείδεια νόρμα των δύο συνιστωσών.

Οι είσοδοι x και y είναι απλοί πραγματικοί αριθμοί σε όποιες μονάδες χρησιμοποιεί η συνάρτηση· οι συνιστώσες της κλίσης φέρουν μονάδες της f ανά μονάδα x (ή y). Αποφύγετε σημεία όπου η συνάρτηση είναι απροσδιόριστη ή ιδιάζουσα — για παράδειγμα η f = ln(x² + y²) εκρήγνυται στην αρχή, και ένας πολύ μικρός παρονομαστής εκεί καθιστά την αριθμητική παράγωγο αναξιόπιστη. Σε ένα τοπικό ακρότατο ή σαγματικό σημείο η κλίση είναι το μηδενικό διάνυσμα, οπότε το μέτρο είναι μηδέν.