Catalani arvu kalkulaator
Leia n-s Catalani arv ja vaata, kuidas jada 1, 1, 2, 5, 14, 42, … plahvatab, kui n kasvab.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1430
Kuidas see kalkulaator töötab?
n-s Catalani arv on Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). See loendab tasakaalustatud sulge, täielikke kahendpuid, võrestikke ja hulknurkade kolmnurgastusi. Jada algab 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … ja kasvab umbes nagu 4ⁿ. Sisesta mis tahes täisarv n ≥ 0, et saada Cₙ ja kogu kasvukõver.
Valem
How this is calculated
Sisesta mittenegatiivne täisarv n. Catalani arvud Cₙ loendavad tohutu hulga kombinatoorseid objekte: viise, kuidas õigesti sobitada n paari sulge, täielike kahendpuude arvu n+1 lehega, monotoonsete võrestikteede arvu, mis jäävad diagonaali alla, ja kumera (n+2)-nurga kolmnurgastuste arvu — kõik võrduvad sama Cₙ-ga.
Kinnine kuju on Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), samaväärselt tsentraalne binoomkordaja C(2n, n) jagatud (n+1)-ga. Faktoriaalide otsene arvutamine ületab kiiresti piirid, seega kasutab see kalkulaator täpset täisarvulist rekurrentsi C₀ = 1 ja C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Iga samm korrutab täisarvulise teguriga, hoides jooksva väärtuse täpsena seni, kuni topelttäpsus lubab, ja koostades kogu jada C₀…Cₙ, mis joonistatakse kasvukõverale.
Väärtused on dimensioonita loendid, seega mõttekas on ainult täisarv n ≥ 0; murdarvuline sisend ümardatakse allapoole. Kuna Cₙ kasvab umbes nagu 4ⁿ / (n^{3/2}√π), ületavad arvud 64-bitise ujukoma täpse täisarvu vahemiku pärast umbes n = 30 ja ületavad täielikult pärast n ≈ 170, seega sisend on piiratud 170-ni ja suured tulemused kuvatakse teaduslikus tähistuses.
Korduma kippuvad küsimused
Jada algab C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 ja C₈ = 1430.
Rekurrentsist Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), mis n kasvades läheneb neljale. See peegeldab asümptootilist kasvu Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Catalani arvud kasvavad eksponentsiaalselt. Pärast n ≈ 170 ületab väärtus maksimaalse esitatava topelttäpsusega arvu (~1.8×10³⁰⁸), seega suuremaid sisendeid ei saa standardse ujukomaga täpselt arvutada.
Tuntud ka kui
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Catalani arvu kalkulaator [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/et/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Catalani arvu kalkulaator." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/et/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Catalani arvu kalkulaator," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/et/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Catalani arvu kalkulaator}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/et/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Kas see kalkulaator aitas sind?