Suuntaderivaatan laskin
Selvitä, kuinka nopeasti funktio f(x, y) muuttuu pisteessä, kun liikut määriteltyä suuntaa pitkin.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Miten tämä laskin toimii?
Suuntaderivaatta D_u f mittaa, kuinka nopeasti f(x, y) muuttuu pisteessä, kun liikutaan valittua suuntaa pitkin. Se on gradientti ∇f = (fx, fy) pistettynä yksikkösuunnan û kanssa. Tämä työkalu arvioi gradientin keskeisdifferensseillä, normalisoi vektorisi ja raportoi D_u f:n osittaisderivaattojen ohella.
Kaava
How this is calculated
Valitse funktio f(x, y) ja piste (x, y), ja anna sitten suuntavektori (u1, u2). Laskin arvioi ensin gradientin ∇f = (fx, fy) käyttäen symmetristä (keskeistä) differenssiosamäärää pienellä askeleella h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) ja fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Keskeisdifferenssejä käytetään, koska niiden virhe on O(h²), mikä tekee niistä paljon tarkempia kuin yksipuoliset differenssit.
Suunta normalisoidaan sitten yksikkövektoriksi û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), koska suuntaderivaatta määritellään yksikköpituiselle suunnalle. Tulos on pistetulo D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, joka antaa f:n hetkellisen muutosnopeuden pisteessä kyseiseen suuntaan.
Yksiköt seuraavat f:ää: D_u f:llä on f:n yksiköt kuljettua pituusyksikköä kohden. Jos suuntavektori on nollavektori, sen pituus on nolla ja tulos on määrittelemätön, joten tämä tapaus ei palauta vastausta. Suurin mahdollinen suuntaderivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin gradientin suuruus |∇f| ja esiintyy itse gradientin suunnassa; gradienttia vastaan kohtisuorassa liikkuminen antaa nollan.
Usein kysytyt kysymykset
Suuntaderivaatta määritellään yksikkösuuntaa pitkin. Normalisointi (u1, u2):n jakaminen sen pituudella poistaa vektorin suuruuden vaikutuksen, joten tulos heijastaa vain suuntaa, ei vektorin pituutta.
Keskeisdifferensseillä, joissa h = 1e-5, virhe on verrannollinen h²:een, joten sileille funktioille gradientti on tyypillisesti tarkka moneen merkitsevään numeroon, vastaten läheisesti tarkkoja analyyttisiä osittaisderivaattoja.
Itse gradientin ∇f suunta, jossa D_u f on yhtä suuri kuin gradientin suuruus |∇f|. Vastakkainen suunta antaa negatiivisimman arvon, ja gradienttia vastaan kohtisuorat suunnat antavat nollan.
Tunnetaan myös nimellä
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Suuntaderivaatan laskin [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fi/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Suuntaderivaatan laskin." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fi/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Suuntaderivaatan laskin," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fi/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Suuntaderivaatan laskin}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/fi/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Oliko tästä laskimesta sinulle apua?