Advanced

Gradienttivektorin laskin

Laske kahden muuttujan funktion gradientti ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) valitussa pisteessä sekä sen suuruus.

Function f(x, y)

Pick a two-variable function

Magnitude |∇f|

4,4721

Length of the gradient vector at the point

∂f/∂x

∂f/∂y

Gradient ∇f

(2, 4)

Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) — component partials combine into the steepest-ascent vector

Step by step

1
∂f/∂x at (x, y)
2
Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵.
2
∂f/∂y at (x, y)
4
3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721

Tulokset ovat arvioita ja tarkoitettu vain yleiseen tiedoksi, eivätkä ne ole ammattilaisen neuvoja — varmista aina tärkeät tulokset itsenäisesti ennen kuin luotat niihin. Lue koko vastuuvapauslauseke.

Pikavastaus

Miten tämä laskin toimii?

Gradientti ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) kokoaa funktion osittaisderivaatat ja osoittaa kohti sen jyrkintä kasvua. Tämä työkalu laskee molemmat osittaisderivaatat numeerisesti keskeisdifferensseillä valitussa pisteessäsi ja raportoi komponentit sekä suuruuden |∇f| = √(fx² + fy²), nopeimman muutoksen nopeuden siinä.

Kaava

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y), |∇f| = √( (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² )

How this is calculated

Skalaarifunktion f(x, y) gradientti on sen ensimmäisten osittaisderivaattojen vektori, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Se osoittaa f:n jyrkimmän kasvun suuntaan, ja sen suuruus |∇f| antaa kyseisen kasvun nopeuden. Valitse funktio luettelosta ja syötä piste (x, y), jossa haluat gradientin lasketuksi.

Kukin osittaisderivaatta arvioidaan numeerisesti symmetrisellä (keskeisellä) differenssikaavalla, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) pienellä askeleella h = 1e-5, ja vastaavasti ∂f/∂y:lle. Keskeisdifferensseillä on toisen kertaluvun tarkkuus, joten sileille funktioille tulos vastaa tarkkaa analyyttistä derivaattaa useaan desimaaliin. Suuruus on sitten kahden komponentin euklidinen normi.

Syötteet x ja y ovat tavallisia reaalilukuja missä tahansa funktion käyttämissä yksiköissä; gradientin komponenteilla on yksiköinä f x:n (tai y:n) yksikköä kohden. Vältä pisteitä, joissa funktio on määrittelemätön tai singulaarinen — esimerkiksi f = ln(x² + y²) räjähtää origossa, ja erittäin pieni nimittäjä siinä tekee numeerisesta derivaatasta epäluotettavan. Paikallisessa ääriarvossa tai satulapisteessä gradientti on nollavektori, joten suuruus on nolla.

Usein kysytyt kysymykset

Se on funktion jyrkin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Gradienttivektori osoittaa nopeimman kasvun suuntaan, ja |∇f| on se, kuinka nopeasti f nousee tuohon suuntaan pituusyksikköä kohden.

Keskeisdifferenssit antavat työkalulle mahdollisuuden laskea gradientti mille tahansa valitulle funktiolle ilman symbolista derivointia. Askeleella h = 1e-5 ne ovat tarkkoja noin 1e-10 suhteelliseen virheeseen sileille funktioille.

Kriittisissä pisteissä — paikallisissa maksimeissa, minimeissä ja satulapisteissä — molemmat osittaisderivaatat häviävät, joten ∇f = (0, 0) ja suuruus on 0.

Tunnetaan myös nimellä

gradientti laskuri

gradienttivektori

funktion gradientti

nabla f

del f

gradientin laskeminen

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Gradienttivektorin laskin [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fi/calculator/gradient-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Gradienttivektorin laskin." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fi/calculator/gradient-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Gradienttivektorin laskin," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fi/calculator/gradient-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Gradienttivektorin laskin}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/fi/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Oliko tästä laskimesta sinulle apua?