Toisen asteen yhtälön ratkaisija
Ratkaise mikä tahansa toisen asteen yhtälö ja näe sen juuret ja diskriminantti.
Kaksi reaalijuurta
- 1
b²
(−3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminantti
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Kaava
How this is calculated
Toisen asteen yhtälö on muotoa ax² + bx + c = 0, jossa a, b ja c ovat syöttämäsi luvut. Kerroin a kertoo x²:n eikä saa olla nolla — jos se olisi, yhtälö olisi lineaarinen, ei toisen asteen. Kerroin b kertoo x:n, ja c on erillinen vakiotermi. Ratkaisija soveltaa toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, joka antaa tarkat x-arvot, joissa paraabeli leikkaa nollan.
Keskeinen suure on diskriminantti, D = b² − 4ac, joka lasketaan ensin. Sen etumerkki ratkaisee juurten luonteen ilman lisätyötä: D > 0 tuottaa kaksi erillistä reaalijuurta, D = 0 tuottaa yhden kaksinkertaisen reaalijuuren (paraabeli vain koskettaa x-akselia), ja D < 0 tuottaa parin kompleksisia liittojuuria, jotka kirjoitetaan muodossa re ± im·i.
Syötteet ovat puhtaita lukuja ilman yksiköitä, joten tulokset kantavat sitä yksikköä, jota ongelmasi edellyttää. Laskennassa käytetään tavallista liukulukuaritmetiikkaa, joten erittäin suuret kertoimet tai toisiaan hyvin lähellä olevat juuret voivat näyttää pieniä pyöristyseroja näytetyissä arvoissa.
Esimerkit
| Syöte | Tulos |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Tietoa tästä laskimesta
Toisen asteen yhtälön ratkaisija löytää x:n arvot, jotka toteuttavat muotoa ax^2 + bx + c = 0 olevan yhtälön, jossa a, b ja c ovat vakioita ja a ei ole nolla. Näitä ratkaisuja kutsutaan yhtälön juuriksi, ja graafisesti ne ovat pisteitä, joissa paraabeli y = ax^2 + bx + c leikkaa vaaka-akselin.
Ratkaisija soveltaa toisen asteen yhtälön kaavaa, x = (-b plus tai miinus neliöjuuri lausekkeesta (b^2 - 4ac)) jaettuna 2a:lla. Neliöjuuren alla olevaa lauseketta, b^2 - 4ac, kutsutaan diskriminantiksi, ja se päättää juurten luonteen jo ennen kuin edes lopetat laskennan. Jos diskriminantti on positiivinen, on kaksi erillistä reaalijuurta, jos se on tarkalleen nolla, on yksi toistuva reaalijuuri, ja jos se on negatiivinen, on kaksi kompleksista liittojuurta, jotka sisältävät imaginaariyksikön i.
Käyttääksesi työkalua syötä kolme kerrointa a, b ja c tarkalleen sellaisina kuin ne esiintyvät yhtälössäsi, mukaan lukien mahdolliset negatiiviset merkit. Ratkaisija ilmoittaa diskriminantin, kertoo, kuinka monta reaalista tai kompleksista juurta on olemassa, ja antaa sitten itse juuret. Diskriminantin näyttäminen ensin antaa sinun ymmärtää tuloksen sen sijaan, että vain lukisit luvun.
Tuloksen tulkitseminen on juurten sovittamista diskriminanttiin. Kaksi reaalijuurta tarkoittaa, että paraabeli leikkaa akselin kahdessa kohdassa; yksi toistuva juuri tarkoittaa, että se vain koskettaa akselia kärjessään; ja kompleksiset juuret tarkoittavat, että paraabeli ei koskaan saavuta akselia lainkaan. Voit aina tarkistaa reaalijuuren sijoittamalla sen takaisin alkuperäiseen yhtälöön, jonka pitäisi palauttaa nolla.
Yleisiä virheitä ovat a:n syöttäminen nollaksi, mikä ei ole toisen asteen yhtälö lainkaan vaan lineaarinen yhtälö, ja miinusmerkin pudottaminen kertoimia siirrettäessä, mikä muuttaa hiljaa vastausta. Ihmiset myös joskus unohtavat, että vähentäminen kaavan sisällä voi kääntää merkit, ja että negatiivinen diskriminantti ei tarkoita, ettei ratkaisua ole, vaan ainoastaan että ratkaisut ovat kompleksisia eivätkä reaalisia.
Usein kysytyt kysymykset
Diskriminantti on b^2 - 4ac, neliöjuuren alla oleva osa toisen asteen yhtälön kaavassa. Se kertoo juurten luonteen: positiivinen tarkoittaa kahta erillistä reaalijuurta, nolla tarkoittaa yhtä toistuvaa reaalijuurta ja negatiivinen tarkoittaa kahta kompleksista liittojuurta.
Silloin se ei ole toisen asteen yhtälö lainkaan vaan lineaarinen, bx + c = 0, jolla on yksi ratkaisu x = -c/b. Aito toisen asteen yhtälö vaatii, että a on nollasta poikkeava, muuten x^2-termi katoaa eikä toisen asteen yhtälön kaavaa voi soveltaa.
Kyllä, kun diskriminantti on tarkalleen nolla. Siinä tapauksessa kaava antaa yhden toistuvan juuren x = -b/(2a), ja graafisesti paraabeli vain koskettaa vaaka-akselia kärjessään leikkaamatta sitä.
Se tarkoittaa, että yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja vaan kaksi kompleksista, kirjoitettuna liittolukuina muotoa p plus tai miinus qi. Paraabeli ei koskaan leikkaa vaaka-akselia, mutta juuret ovat silti olemassa kompleksilukujärjestelmässä.
Sijoita se takaisin alkuperäiseen yhtälöön ax^2 + bx + c. Jos arvo on aito juuri, lausekkeen pitäisi saada arvoksi nolla (tai erittäin lähellä sitä, pyöristys huomioiden). Tämä toimii molemmille kahdelle reaalijuurelle.
Yhtälölle ax^2 + bx + c = 0 kaksi juurta summautuvat arvoon -b/a ja kertoutuvat arvoon c/a. Nämä suhteet, jotka tunnetaan Vièten kaavoina, antavat nopean tavan tarkistaa ratkaisijan tuloksen järkevyys ilman koko laskennan toistamista.
Tunnetaan myös nimellä
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Toisen asteen yhtälön ratkaisija [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fi/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Toisen asteen yhtälön ratkaisija." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fi/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Toisen asteen yhtälön ratkaisija," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fi/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Toisen asteen yhtälön ratkaisija}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/fi/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Oliko tästä laskimesta sinulle apua?