पास्कल त्रिभुज पंक्ति परिकलक
एक पंक्ति सूचकांक n दर्ज करें और तुरंत पास्कल त्रिभुज की पूरी n-वीं पंक्ति उसके योग और सबसे बड़े गुणांक के साथ पाएँ।
Sum of all coefficients in this row
- 1
C(n,0) = 1
1Every row starts with 1. - 2
C(n,1) = C(n,0) × n ÷ 1
1 × 6 ÷ 1 = 6 - 3
Row sum = 2^n
2^6 = 64The sum of all binomial coefficients in row n equals 2^n (binomial theorem with x=y=1).
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
एक पंक्ति सूचकांक n दर्ज करें और यह उपकरण पास्कल त्रिभुज की n-वीं पंक्ति लौटाता है—द्विपद गुणांक C(n,0) से C(n,n) तक। यह उन्हें पुनरावृत्ति C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k से बनाता है, सममित घंटी आकार, पदों की संख्या (n+1) दिखाता है, और पुष्टि करता है कि पंक्ति योग 2^n के बराबर है।
सूत्र
How this is calculated
पास्कल त्रिभुज द्विपद गुणांकों की सरणी है, जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि ठीक उसके ऊपर की दो प्रविष्टियों के योग के बराबर होती है। एकल इनपुट n, 0-अनुक्रमित पंक्ति संख्या है: पंक्ति 0 [1] है, पंक्ति 1 [1, 1] है, पंक्ति 2 [1, 2, 1] है, इत्यादि। परिकलक प्रत्येक क्रमगुणित को अलग से परिकलित करने के बजाय पंक्ति को पुनरावृत्त रूप से बनाता है। यह C(n,0) = 1 से शुरू होता है और k = 1 से n तक पुनरावृत्ति C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k लागू करता है। चूँकि हर मध्यवर्ती मान एक सटीक पूर्णांक है, यह गुणनात्मक विधि उस अतिप्रवाह से बचती है जो आपको n! को सीधे परिकलित करने से मिलता और कहीं अधिक तेज़ है।
पंक्ति में n + 1 पद होते हैं, यह सममित है (C(n,k) = C(n,n−k)), और बीच में शिखर बनाते हुए एक घंटी-आकार वितरण बनाती है। पंक्ति n में सभी गुणांकों का योग 2^n के बराबर होता है, जो x = y = 1 के साथ द्विपद प्रमेय से अनुसरण करता है: (1 + 1)^n = Σ C(n,k)। ये गुणांक ठीक वे गुणक हैं जो (x + y)^n के विस्तार पर प्रकट होते हैं।
इनपुट एक अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। गैर-पूर्णांक, ऋणात्मक, या खाली मान कोई परिणाम नहीं देते। बहुत बड़े n के लिए गुणांक द्वि-परिशुद्धता फ्लोटिंग पॉइंट की परिशुद्धता से अधिक हो जाते हैं, इसलिए कुछ सौ से ऊपर के परिणाम सन्निकट माने जाने चाहिए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
पंक्ति 0 केवल [1] है। त्रिभुज 0-अनुक्रमित है, इसलिए सबसे ऊपर का एकल 1 पंक्ति 0 है, [1, 1] पंक्ति 1 है, और [1, 2, 1] पंक्ति 2 है।
द्विपद प्रमेय में x = y = 1 रखने पर (1 + 1)^n = Σ C(n,k) मिलता है, इसलिए पंक्ति n के गुणांक हमेशा 2^n तक जुड़ते हैं।
परिकलक C(n,0) = 1 से शुरू करते हुए पुनरावृत्ति C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k उपयोग करता है, जो हर चरण को एक सटीक पूर्णांक रखता है और क्रमगुणित अतिप्रवाह से बचता है।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). पास्कल त्रिभुज पंक्ति परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/pascals-triangle-row-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "पास्कल त्रिभुज पंक्ति परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/pascals-triangle-row-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "पास्कल त्रिभुज पंक्ति परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/pascals-triangle-row-calculator
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