कैटलन संख्या परिकलक
n-वीं कैटलन संख्या ज्ञात करें और देखें कि n के बढ़ने पर अनुक्रम 1, 1, 2, 5, 14, 42, … कैसे विस्फोटित होता है।
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3.333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3.333333 = 1,430
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
n-वीं कैटलन संख्या Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!) है। यह संतुलित कोष्ठक, पूर्ण द्विआधारी वृक्ष, जालक पथ, और बहुभुज त्रिकोणीकरण गिनती है। अनुक्रम 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … से शुरू होता है और लगभग 4ⁿ की तरह बढ़ता है। Cₙ और पूरा वृद्धि वक्र पाने के लिए कोई भी पूर्णांक n ≥ 0 दर्ज करें।
सूत्र
How this is calculated
एक अऋणात्मक पूर्णांक n दर्ज करें। कैटलन संख्याएँ Cₙ संयोजनात्मक वस्तुओं के एक विशाल परिवार को गिनती हैं: n कोष्ठक युग्मों को सही ढंग से मिलाने के तरीकों की संख्या, n+1 पत्तियों वाले पूर्ण द्विआधारी वृक्षों की संख्या, विकर्ण के नीचे रहने वाले एकदिष्ट जालक पथों की संख्या, और एक उत्तल (n+2)-भुज के त्रिकोणीकरणों की संख्या — सभी एक ही Cₙ के बराबर।
संवृत रूप Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!) है, समतुल्य रूप से केंद्रीय द्विपद गुणांक C(2n, n) को (n+1) से विभाजित करना। क्रमगुणितों को सीधे परिकलित करना जल्दी अतिप्रवाहित हो जाता है, इसलिए यह परिकलक सटीक पूर्णांक पुनरावृत्ति C₀ = 1 और C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2) का उपयोग करता है। प्रत्येक चरण एक पूर्णांक-मान वाले गुणक से गुणा करता है, चलते मान को तब तक सटीक रखता है जब तक द्वि-परिशुद्धता अनुमति देती है, और वृद्धि वक्र में आरेखित पूरा अनुक्रम C₀…Cₙ बनाता है।
मान विमाहीन गणनाएँ हैं, इसलिए केवल पूर्णांक n ≥ 0 सार्थक है; भिन्नात्मक इनपुट को फ़्लोर किया जाता है। चूँकि Cₙ मोटे तौर पर 4ⁿ / (n^{3/2}√π) की तरह बढ़ता है, संख्याएँ लगभग n = 30 से आगे 64-बिट फ्लोट की सटीक पूर्णांक सीमा से अधिक हो जाती हैं और n ≈ 170 के बाद पूरी तरह अतिप्रवाहित हो जाती हैं, इसलिए इनपुट 170 पर सीमित है और बड़े परिणाम वैज्ञानिक संकेतन में दिखाए जाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अनुक्रम C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, और C₈ = 1430 से शुरू होता है।
पुनरावृत्ति से, Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), जो n के बढ़ने पर 4 की ओर प्रवृत्त होता है। यह अनंतस्पर्शी वृद्धि Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π) को दर्शाता है।
कैटलन संख्याएँ चरघातांकी रूप से बढ़ती हैं। n ≈ 170 से आगे मान अधिकतम निरूपणीय द्वि-परिशुद्धता संख्या (~1.8×10³⁰⁸) से अधिक हो जाता है, इसलिए मानक फ्लोटिंग पॉइंट के साथ बड़े इनपुट सटीक रूप से परिकलित नहीं किए जा सकते।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). कैटलन संख्या परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "कैटलन संख्या परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "कैटलन संख्या परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/catalan-number-calculator
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