Kalkulator usmjerene derivacije
Pronađite koliko se brzo funkcija f(x, y) mijenja u točki dok se krećete duž zadanog smjera.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Kako radi ovaj kalkulator?
Usmjerena derivacija D_u f mjeri koliko se brzo f(x, y) mijenja u točki pri kretanju duž odabranog smjera. Jednaka je gradijentu ∇f = (fx, fy) skalarno pomnoženom s jediničnim smjerom û. Ovaj alat procjenjuje gradijent središnjim razlikama, normalizira vaš vektor i prijavljuje D_u f uz parcijalne derivacije.
Formula
How this is calculated
Odaberite funkciju f(x, y) i točku (x, y), zatim zadajte vektor smjera (u1, u2). Kalkulator najprije procjenjuje gradijent ∇f = (fx, fy) pomoću simetričnog (središnjeg) razlikovnog kvocijenta s malim korakom h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) i fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Središnje razlike koriste se jer im je pogreška O(h²), što ih čini daleko točnijima od jednostranih razlika.
Smjer se zatim normalizira u jedinični vektor û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), jer je usmjerena derivacija definirana za smjer jedinične duljine. Rezultat je skalarni umnožak D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, koji daje trenutnu brzinu promjene f u točki u tom smjeru.
Jedinice prate f: D_u f ima jedinice f po prijeđenoj jedinici duljine. Ako je vektor smjera nul-vektor, njegova je duljina nula i rezultat je nedefiniran, pa taj slučaj ne daje odgovor. Najveća moguća usmjerena derivacija u točki jednaka je iznosu gradijenta |∇f| i nastaje u smjeru samog gradijenta; kretanje okomito na gradijent daje nulu.
Često postavljana pitanja
Usmjerena derivacija definirana je duž jediničnog smjera. Normaliziranje (u1, u2) njegovom duljinom uklanja učinak iznosa vektora pa rezultat odražava samo smjer, a ne koliko je vektor dug.
Središnje razlike s h = 1e-5 imaju pogrešku proporcionalnu h², pa je za glatke funkcije gradijent obično točan na mnogo značajnih znamenki, blisko se podudarajući s točnim analitičkim parcijalnim derivacijama.
Smjer samog gradijenta ∇f, gdje D_u f jednak iznosu gradijenta |∇f|. Suprotni smjer daje najnegativniju vrijednost, a smjerovi okomiti na ∇f daju nulu.
Poznato i kao
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator usmjerene derivacije [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hr/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator usmjerene derivacije." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hr/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator usmjerene derivacije," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hr/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kalkulator usmjerene derivacije}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hr/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Je li vam ovaj kalkulator pomogao?