Rješavač kvadratnih jednadžbi
Riješite svaku kvadratnu jednadžbu i pogledajte njezine korijene i diskriminantu.
Dva realna korijena
- 1
b²
(−3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminanta
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Formula
How this is calculated
Kvadratna jednadžba ima oblik ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c brojevi koje unosite. Koeficijent a množi x² i ne smije biti nula — kada bi bio, jednadžba bi bila linearna, a ne kvadratna. Koeficijent b množi x, a c je samostalni slobodni član. Rješavač primjenjuje kvadratnu formulu x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, koja daje točne vrijednosti x u kojima parabola siječe nulu.
Ključna veličina jest diskriminanta, D = b² − 4ac, koja se računa prva. Njezin predznak odlučuje o naravi korijena bez ikakvog dodatnog rada: D > 0 daje dva različita realna korijena, D = 0 daje jedan dvostruki realni korijen (parabola samo dodiruje os x), a D < 0 daje par kompleksno-konjugiranih korijena zapisanih kao re ± im·i.
Ulazi su čisti brojevi bez jedinica, pa rezultati nose one jedinice koje vaš problem podrazumijeva. Izračuni koriste standardnu aritmetiku s pomičnim zarezom, pa vrlo veliki koeficijenti ili korijeni izrazito blizu jedan drugome mogu pokazati sitne razlike zaokruživanja u prikazanim vrijednostima.
Primjeri
| Ulazni podaci | Rezultat |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
O ovom kalkulatoru
Rješavač kvadratnih jednadžbi pronalazi vrijednosti x koje zadovoljavaju jednadžbu oblika ax^2 + bx + c = 0, gdje su a, b i c konstante, a a nije nula. Ta rješenja nazivaju se korijenima jednadžbe, a grafički su to točke u kojima parabola y = ax^2 + bx + c presijeca vodoravnu os.
Rješavač primjenjuje kvadratnu formulu, x = (-b plus ili minus drugi korijen iz (b^2 - 4ac)) podijeljeno s 2a. Izraz pod drugim korijenom, b^2 - 4ac, naziva se diskriminantom i on odlučuje o prirodi korijena prije nego što uopće dovršite izračun. Ako je diskriminant pozitivan, postoje dva različita realna korijena, ako je točno nula, postoji jedan ponovljeni realni korijen, a ako je negativan, postoje dva kompleksno konjugirana korijena koja uključuju imaginarnu jedinicu i.
Za korištenje alata unesite tri koeficijenta a, b i c točno onako kako se pojavljuju u vašoj jednadžbi, uključujući sve negativne predznake. Rješavač izvještava o diskriminantu, govori vam koliko realnih ili kompleksnih korijena postoji, a zatim daje same korijene. Prikazivanje diskriminanta prvo omogućuje vam da razumijete rezultat, a ne samo da pročitate broj.
Tumačenje rezultata svodi se na uparivanje korijena s diskriminantom. Dva realna korijena znače da parabola siječe os na dva mjesta; jedan ponovljeni korijen znači da samo dodiruje os u svom tjemenu; a kompleksni korijeni znače da parabola uopće ne doseže os. Realni korijen uvijek možete provjeriti uvrštavanjem natrag u izvornu jednadžbu, što bi trebalo dati nulu.
Uobičajene pogreške uključuju unos a kao nule, što uopće nije kvadratna nego linearna jednadžba, i ispuštanje predznaka minus pri prepisivanju koeficijenata, što tiho mijenja odgovor. Ljudi također ponekad zaborave da oduzimanje unutar formule može preokrenuti predznake i da negativan diskriminant ne znači da nema rješenja, već samo da su rješenja kompleksna, a ne realna.
Često postavljana pitanja
Diskriminant je b^2 - 4ac, dio pod drugim korijenom u kvadratnoj formuli. Govori vam o prirodi korijena: pozitivan znači dva različita realna korijena, nula znači jedan ponovljeni realni korijen, a negativan znači dva kompleksno konjugirana korijena.
Tada to uopće nije kvadratna jednadžba nego linearna, bx + c = 0, s jednim rješenjem x = -c/b. Prava kvadratna jednadžba zahtijeva da a bude različito od nule, inače član x^2 nestaje i kvadratna formula se ne može primijeniti.
Da, kada je diskriminant točno jednak nuli. U tom slučaju formula daje jedan ponovljeni korijen x = -b/(2a), a grafički parabola samo dodiruje vodoravnu os u svom tjemenu, a ne presijeca je.
Znači da jednadžba nema realnih rješenja nego dva kompleksna, napisana kao konjugati oblika p plus ili minus qi. Parabola nikada ne presijeca vodoravnu os, ali korijeni i dalje postoje unutar sustava kompleksnih brojeva.
Uvrstite ga natrag u izvornu jednadžbu ax^2 + bx + c. Ako je vrijednost pravi korijen, izraz bi se trebao izračunati na nulu (ili izuzetno blizu toga, uzimajući u obzir zaokruživanje). To vrijedi za oba realna korijena.
Za ax^2 + bx + c = 0, dva korijena zbrajaju se u -b/a i množe u c/a. Ti odnosi, poznati kao Vièteove formule, daju brz način za provjeru rezultata rješavača bez ponavljanja cijelog izračuna.
Poznato i kao
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rješavač kvadratnih jednadžbi [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hr/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Rješavač kvadratnih jednadžbi." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hr/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rješavač kvadratnih jednadžbi," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hr/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Rješavač kvadratnih jednadžbi}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hr/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Je li vam ovaj kalkulator pomogao?