Iránymenti derivált kalkulátor
Határozd meg, milyen gyorsan változik egy f(x, y) függvény egy pontban, ahogy egy megadott irány mentén mozogsz.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Hogyan működik ez a kalkulátor?
Az iránymenti derivált D_u f azt méri, milyen gyorsan változik f(x, y) egy pontban, amikor egy választott irány mentén mozgunk. Egyenlő a gradiens ∇f = (fx, fy) és az û egységirány skaláris szorzatával. Ez az eszköz centrális differenciákkal becsüli a gradienst, normalizálja a vektorodat, és jelenti D_u f-et a parciális deriváltakkal együtt.
Képlet
How this is calculated
Válassz ki egy f(x, y) függvényt és egy (x, y) pontot, majd adj meg egy (u1, u2) irányvektort. A kalkulátor először megbecsüli a gradienst ∇f = (fx, fy) a szimmetrikus (centrális) differenciahányadossal, kis h = 1e-5 lépéssel: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) és fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). A centrális differenciákat azért használjuk, mert hibájuk O(h²), így sokkal pontosabbak az egyoldali differenciáknál.
Az irányt ezután egy û = (u1, u2) / √(u1² + u2²) egységvektorra normalizáljuk, mivel az iránymenti derivált egységnyi hosszúságú irányra van definiálva. Az eredmény a skaláris szorzat D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, amely f pillanatnyi változási sebességét adja a pontban abban az irányban.
A mértékegységek f-et követik: D_u f mértékegysége f megtett egységnyi hosszra. Ha az irányvektor a nullvektor, hossza nulla, és az eredmény nem értelmezett, így ez az eset nem ad választ. A maximális lehetséges iránymenti derivált egy pontban egyenlő a gradiens nagyságával |∇f|, és magában a gradiens irányában fordul elő; a gradiensre merőlegesen mozogva nullát ad.
Gyakran ismételt kérdések
Az iránymenti derivált egy egységnyi irány mentén van definiálva. Az (u1, u2) hosszával való normalizálás eltávolítja a vektor nagyságának hatását, így az eredmény csak az irányt tükrözi, nem azt, milyen hosszú a vektor.
A h = 1e-5 lépésű centrális differenciák hibája h²-tel arányos, így sima függvényekre a gradiens jellemzően sok értékes jegyig pontos, szorosan egyezve a pontos analitikus parciális deriváltakkal.
Magának a gradiensnek ∇f az iránya, ahol D_u f egyenlő a gradiens nagyságával |∇f|. Az ellentétes irány adja a legnegatívabb értéket, a ∇f-re merőleges irányok pedig nullát.
Más néven
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Iránymenti derivált kalkulátor [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hu/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Iránymenti derivált kalkulátor." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hu/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Iránymenti derivált kalkulátor," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hu/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Iránymenti derivált kalkulátor}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hu/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Segített ez a kalkulátor?