Gradiensvektor kalkulátor
Számítsd ki egy kétváltozós függvény gradiensét ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) egy választott pontban, a nagyságával együtt.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Hogyan működik ez a kalkulátor?
A gradiens ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) egy függvény parciális deriváltjait gyűjti össze, és a legmeredekebb növekedés felé mutat. Ez az eszköz mindkét parciálist numerikusan, centrális differenciákkal értékeli ki a választott pontodban, és jelenti a komponenseket, valamint a |∇f| = √(fx² + fy²) nagyságot, amely az ottani leggyorsabb változás sebessége.
Képlet
How this is calculated
Egy f(x, y) skalárfüggvény gradiense az első parciális deriváltjainak vektora, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). f legmeredekebb növekedésének irányába mutat, nagysága |∇f| pedig e növekedés sebességét adja. Válassz ki egy függvényt a listából, és add meg az (x, y) pontot, amelyben ki akarod értékelni a gradienst.
Minden parciális deriváltat numerikusan becsülünk a szimmetrikus (centrális) differenciaképlettel, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h), kis h = 1e-5 lépéssel, és hasonlóan ∂f/∂y-ra. A centrális differenciák másodrendű pontosságúak, így sima függvényekre az eredmény több tizedesjegyig egyezik a pontos analitikus deriválttal. A nagyság ezután a két komponens euklideszi normája.
Az x és y bemenetek egyszerű valós számok a függvény által használt mértékegységben; a gradiens komponensei f egységét hordozzák x (vagy y) egységére. Kerüld azokat a pontokat, ahol a függvény nem értelmezett vagy szinguláris — például f = ln(x² + y²) felrobban az origóban, és egy nagyon kicsi nevező ott megbízhatatlanná teszi a numerikus deriváltat. Egy lokális szélsőértékben vagy nyeregpontban a gradiens a nullvektor, így a nagyság nulla.
Gyakran ismételt kérdések
Ez a függvény legmeredekebb változási sebessége abban a pontban. A gradiensvektor a leggyorsabb növekedés irányába mutat, |∇f| pedig azt mutatja, milyen gyorsan emelkedik f abban az irányban egységnyi távolságra.
A centrális differenciák lehetővé teszik, hogy az eszköz bármely kiválasztott függvényre szimbolikus deriválás nélkül értékelje ki a gradienst. h = 1e-5 lépéssel körülbelül 1e-10 relatív hibáig pontosak sima függvényekre.
A kritikus pontokban — lokális maximumok, minimumok és nyeregpontok — mindkét parciális derivált eltűnik, így ∇f = (0, 0), és a nagyság 0.
Más néven
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Gradiensvektor kalkulátor [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hu/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Gradiensvektor kalkulátor." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hu/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Gradiensvektor kalkulátor," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hu/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Gradiensvektor kalkulátor}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hu/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Segített ez a kalkulátor?