Másodfokú egyenlet megoldó
Oldjon meg bármilyen másodfokú egyenletet, és tekintse meg a gyökeit és diszkriminánsát.
Két valós gyök
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diszkrimináns
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Képlet
How this is calculated
A másodfokú egyenlet ax² + bx + c = 0 alakú, ahol a, b és c az általad megadott számok. Az a együttható az x²-et szorozza, és nem lehet nulla — ha az lenne, az egyenlet lineáris lenne, nem másodfokú. A b együttható az x-et szorozza, c pedig az önálló konstans tag. A megoldó a másodfokú megoldóképletet alkalmazza x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, amely megadja azokat a pontos x-értékeket, ahol a parabola metszi a nullát.
A kulcsmennyiség a diszkrimináns, D = b² − 4ac, amelyet először számít ki. Az előjele dönti el a gyökök jellegét bármilyen további munka nélkül: D > 0 két különböző valós gyököt ad, D = 0 egy kétszeres valós gyököt ad (a parabola éppen csak érinti az x-tengelyt), D < 0 pedig egy konjugált komplex gyökpárt ad, amely re ± im·i formában van felírva.
A bemenetek tiszta számok mértékegység nélkül, így az eredmények azt a mértékegységet hordozzák, amelyet a feladatod sugall. A számítások standard lebegőpontos aritmetikát használnak, így nagyon nagy együtthatók vagy egymáshoz rendkívül közeli gyökök apró kerekítési eltéréseket mutathatnak a megjelenített értékekben.
Példák
| Bemenet | Eredmény |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Erről a kalkulátorról
A másodfokú egyenlet megoldó megtalálja x azon értékeit, amelyek kielégítik az ax^2 + bx + c = 0 alakú egyenletet, ahol a, b és c állandók, és a nem nulla. Ezeket a megoldásokat az egyenlet gyökeinek nevezzük, és grafikusan azok a pontok, ahol az y = ax^2 + bx + c parabola metszi a vízszintes tengelyt.
A megoldó a másodfokú megoldóképletet alkalmazza: x = (-b plusz vagy mínusz a (b^2 - 4ac) négyzetgyöke) osztva 2a-val. A négyzetgyök alatti kifejezést, b^2 - 4ac, diszkriminánsnak nevezzük, és ez dönti el a gyökök természetét, még mielőtt befejeznéd a számítást. Ha a diszkrimináns pozitív, két különböző valós gyök van, ha pontosan nulla, egy ismétlődő valós gyök van, ha pedig negatív, két komplex konjugált gyök van, amelyek tartalmazzák az i képzetes egységet.
Az eszköz használatához írd be a három együtthatót, a-t, b-t és c-t pontosan úgy, ahogy az egyenletedben megjelennek, beleértve bármilyen negatív előjelet. A megoldó jelenti a diszkriminánst, megmondja, hány valós vagy komplex gyök létezik, majd megadja magukat a gyököket. A diszkrimináns előbbi megjelenítése lehetővé teszi, hogy megértsd az eredményt, ne csak elolvass egy számot.
A kimenet értelmezése a gyökök diszkriminánshoz illesztéséről szól. Két valós gyök azt jelenti, hogy a parabola két helyen metszi a tengelyt; egy ismétlődő gyök azt jelenti, hogy csak érinti a tengelyt a csúcspontjánál; a komplex gyökök pedig azt jelentik, hogy a parabola egyáltalán nem éri el a tengelyt. Egy valós gyököt mindig ellenőrizhetsz úgy, hogy visszahelyettesíted az eredeti egyenletbe, aminek nullát kell adnia.
A gyakori hibák közé tartozik az a nullaként való megadása, ami egyáltalán nem másodfokú, hanem lineáris egyenlet, valamint egy mínuszjel elhagyása az együtthatók átírásakor, ami csendben megváltoztatja a választ. Az emberek néha azt is elfelejtik, hogy a képleten belüli kivonás megfordíthatja az előjeleket, és hogy a negatív diszkrimináns nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, csak azt, hogy a megoldások komplexek, nem pedig valósak.
Gyakran ismételt kérdések
A diszkrimináns a b^2 - 4ac, a másodfokú megoldóképletben a négyzetgyök alatti rész. Megmondja a gyökök természetét: a pozitív két különböző valós gyököt jelent, a nulla egy ismétlődő valós gyököt, a negatív pedig két komplex konjugált gyököt.
Akkor ez egyáltalán nem másodfokú egyenlet, hanem egy lineáris, bx + c = 0, egyetlen x = -c/b megoldással. Egy valódi másodfokú egyenlethez a-nak nem nullának kell lennie, különben az x^2 tag eltűnik, és a másodfokú megoldóképlet nem alkalmazható.
Igen, amikor a diszkrimináns pontosan nullával egyenlő. Ebben az esetben a képlet egyetlen ismétlődő x = -b/(2a) gyököt ad, és grafikusan a parabola csak érinti a vízszintes tengelyt a csúcspontjánál, ahelyett hogy metszené.
Azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs valós megoldása, hanem két komplex megoldása van, amelyeket a p plusz vagy mínusz qi alakú konjugáltakként írunk. A parabola soha nem metszi a vízszintes tengelyt, de a gyökök továbbra is léteznek a komplex számok rendszerén belül.
Helyettesítsd vissza az eredeti ax^2 + bx + c egyenletbe. Ha az érték valódi gyök, a kifejezésnek nullát (vagy a kerekítést megengedve nagyon közel nullát) kell adnia. Ez mindkét valós gyökre működik.
Az ax^2 + bx + c = 0 esetén a két gyök összege -b/a, szorzata pedig c/a. Ezek az összefüggések, amelyeket Viète-formuláknak neveznek, gyors módot adnak a megoldó kimenetének ellenőrzésére anélkül, hogy újra elvégeznéd a teljes számítást.
Más néven
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Másodfokú egyenlet megoldó [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hu/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Másodfokú egyenlet megoldó." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hu/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Másodfokú egyenlet megoldó," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hu/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Másodfokú egyenlet megoldó}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hu/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Segített ez a kalkulátor?