Calcolatore dei Numeri di Catalan
Trova l'n-esimo numero di Catalan e vedi come la successione 1, 1, 2, 5, 14, 42, … esplode al crescere di n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1430
Come funziona questo calcolatore?
L'n-esimo numero di Catalan è Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Conta parentesi bilanciate, alberi binari completi, cammini reticolari e triangolazioni di poligoni. La successione inizia 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … e cresce circa come 4ⁿ. Inserisci un qualsiasi intero n ≥ 0 per ottenere Cₙ e l'intera curva di crescita.
Formula
How this is calculated
Inserisci un intero non negativo n. I numeri di Catalan Cₙ contano un'enorme famiglia di oggetti combinatori: il numero di modi per abbinare correttamente n coppie di parentesi, il numero di alberi binari completi con n+1 foglie, il numero di cammini reticolari monotoni che restano sotto la diagonale, e il numero di triangolazioni di un (n+2)-gono convesso — tutti uguali allo stesso Cₙ.
La forma chiusa è Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), equivalentemente il coefficiente binomiale centrale C(2n, n) diviso per (n+1). Calcolare i fattoriali direttamente va in overflow rapidamente, quindi questo calcolatore usa la ricorrenza intera esatta C₀ = 1 e C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Ogni passo moltiplica per un fattore a valore intero, mantenendo il valore corrente preciso finché lo consente la doppia precisione e costruendo l'intera successione C₀…Cₙ tracciata nella curva di crescita.
I valori sono conteggi adimensionali, quindi solo un intero n ≥ 0 è significativo; un input frazionario viene troncato. Poiché Cₙ cresce all'incirca come 4ⁿ / (n^{3/2}√π), i numeri superano l'intervallo intero esatto di un float a 64 bit oltre circa n = 30 e vanno completamente in overflow oltre n ≈ 170, quindi l'input è limitato a 170 e i risultati grandi sono mostrati in notazione scientifica.
Domande frequenti
La successione inizia C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, e C₈ = 1430.
Dalla ricorrenza, Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), che tende a 4 al crescere di n. Questo riflette la crescita asintotica Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
I numeri di Catalan crescono esponenzialmente. Oltre n ≈ 170 il valore supera il massimo numero rappresentabile a doppia precisione (~1,8×10³⁰⁸), quindi input più grandi non possono essere calcolati esattamente con la virgola mobile standard.
Conosciuto anche come
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calcolatore dei Numeri di Catalan [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/it/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calcolatore dei Numeri di Catalan." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/it/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calcolatore dei Numeri di Catalan," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/it/calculator/catalan-number-calculator
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