Calcolatore di Derivata Direzionale
Trova quanto velocemente una funzione f(x, y) cambia in un punto mentre ti muovi lungo una direzione specificata.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Come funziona questo calcolatore?
La derivata direzionale D_u f misura quanto velocemente f(x, y) cambia in un punto quando ci si muove lungo una direzione scelta. È uguale al gradiente ∇f = (fx, fy) moltiplicato scalarmente per la direzione unitaria û. Questo strumento stima il gradiente con le differenze centrali, normalizza il tuo vettore e riporta D_u f insieme alle derivate parziali.
Formula
How this is calculated
Scegli una funzione f(x, y) e un punto (x, y), poi fornisci un vettore direzione (u1, u2). Il calcolatore stima prima il gradiente ∇f = (fx, fy) usando il quoziente delle differenze simmetrico (centrale) con un piccolo passo h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) e fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Le differenze centrali sono usate perché il loro errore è O(h²), rendendole molto più accurate delle differenze unilaterali.
La direzione viene poi normalizzata a un vettore unitario û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), poiché la derivata direzionale è definita per una direzione di lunghezza unitaria. Il risultato è il prodotto scalare D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, che dà il tasso di variazione istantaneo di f nel punto in quella direzione.
Le unità seguono f: D_u f ha le unità di f per unità di lunghezza percorsa. Se il vettore direzione è il vettore nullo la sua lunghezza è zero e il risultato è indefinito, quindi quel caso non restituisce alcuna risposta. La massima derivata direzionale possibile in un punto è uguale al modulo del gradiente |∇f| e si verifica nella direzione del gradiente stesso; muovendosi perpendicolarmente al gradiente si ottiene zero.
Domande frequenti
La derivata direzionale è definita lungo una direzione unitaria. Normalizzare (u1, u2) per la sua lunghezza rimuove l'effetto del modulo del vettore, così il risultato riflette solo la direzione, non quanto è lungo il vettore.
Le differenze centrali con h = 1e-5 hanno un errore proporzionale a h², quindi per le funzioni lisce il gradiente è tipicamente accurato a molte cifre significative, corrispondendo strettamente alle derivate parziali analitiche esatte.
La direzione del gradiente ∇f stesso, dove D_u f è uguale al modulo del gradiente |∇f|. La direzione opposta dà il valore più negativo, e le direzioni perpendicolari a ∇f danno zero.
Conosciuto anche come
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calcolatore di Derivata Direzionale [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/it/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calcolatore di Derivata Direzionale." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/it/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calcolatore di Derivata Direzionale," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/it/calculator/directional-derivative-calculator
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