Kryptinės išvestinės skaičiuoklė
Raskite, kaip greitai funkcija f(x, y) kinta taške judant nurodyta kryptimi.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Kaip veikia ši skaičiuoklė?
Kryptinė išvestinė D_u f matuoja, kaip greitai f(x, y) kinta taške judant pasirinkta kryptimi. Ji lygi gradiento ∇f = (fx, fy) skaliarinei sandaugai su vienetiniu krypties vektoriumi û. Šis įrankis įvertina gradientą centriniais skirtumais, normuoja jūsų vektorių ir praneša D_u f kartu su dalinėmis išvestinėmis.
Formulė
How this is calculated
Pasirinkite funkciją f(x, y) ir tašką (x, y), tada nurodykite krypties vektorių (u1, u2). Skaičiuoklė pirmiausia įvertina gradientą ∇f = (fx, fy) naudodama simetrinį (centrinį) skirtumų santykį su mažu žingsniu h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) ir fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Centriniai skirtumai naudojami, nes jų paklaida yra O(h²), todėl jie gerokai tikslesni už vienpusius skirtumus.
Tada kryptis normuojama iki vienetinio vektoriaus û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), nes kryptinė išvestinė apibrėžta vienetinio ilgio krypčiai. Rezultatas yra skaliarinė sandauga D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, kuri duoda akimirkinį f kitimo greitį taške ta kryptimi.
Vienetai atitinka f: D_u f turi f vienetus vienam nueitam ilgio vienetui. Jei krypties vektorius yra nulinis vektorius, jo ilgis lygus nuliui, o rezultatas neapibrėžtas, todėl tas atvejis negrąžina atsakymo. Didžiausia galima kryptinė išvestinė taške lygi gradiento moduliui |∇f| ir įgyjama paties gradiento kryptimi; judant statmenai gradientui gaunamas nulis.
Dažnai užduodami klausimai
Kryptinė išvestinė apibrėžta išilgai vienetinės krypties. (u1, u2) normavimas iš jo ilgio panaikina vektoriaus modulio įtaką, todėl rezultatas atspindi tik kryptį, o ne vektoriaus ilgį.
Centriniai skirtumai su h = 1e-5 turi paklaidą, proporcingą h², todėl glodžioms funkcijoms gradientas paprastai tikslus iki daugelio reikšminių skaitmenų ir glaudžiai sutampa su tiksliomis analitinėmis dalinėmis išvestinėmis.
Paties gradiento ∇f kryptis, kurioje D_u f lygi gradiento moduliui |∇f|. Priešinga kryptis duoda neigiamiausią reikšmę, o kryptys, statmenos ∇f, duoda nulį.
Taip pat žinomas kaip
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kryptinės išvestinės skaičiuoklė [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/lt/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kryptinės išvestinės skaičiuoklė." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/lt/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kryptinės išvestinės skaičiuoklė," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/lt/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kryptinės išvestinės skaičiuoklė}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/lt/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Ar ši skaičiuoklė jums padėjo?