Gradiento vektoriaus skaičiuoklė
Apskaičiuokite dviejų kintamųjų funkcijos gradientą ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) pasirinktame taške kartu su jo moduliu.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Kaip veikia ši skaičiuoklė?
Gradientas ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) surenka funkcijos dalines išvestines ir rodo link jos sparčiausio augimo. Šis įrankis skaitiniu būdu įvertina abi dalines išvestines centriniais skirtumais pasirinktame taške ir praneša dėmenis bei modulį |∇f| = √(fx² + fy²) – sparčiausio kitimo greitį ten.
Formulė
How this is calculated
Skaliarinės funkcijos f(x, y) gradientas yra jos pirmųjų dalinių išvestinių vektorius, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Jis rodo link f sparčiausio augimo krypties, o jo modulis |∇f| nurodo to augimo greitį. Pasirinkite funkciją iš sąrašo ir įveskite tašką (x, y), kuriame norite įvertinti gradientą.
Kiekviena dalinė išvestinė įvertinama skaitiniu būdu naudojant simetrinę (centrinę) skirtumų formulę, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) su mažu žingsniu h = 1e-5, ir panašiai ∂f/∂y. Centriniai skirtumai turi antros eilės tikslumą, todėl glodžioms funkcijoms rezultatas sutampa su tikslia analitine išvestine iki kelių dešimtainių skaitmenų. Modulis tada yra dviejų dėmenų Euklido norma.
Įvestys x ir y yra paprasti realieji skaičiai bet kokiais funkcijos vienetais; gradiento dėmenys turi f vienetus vienam x (ar y) vienetui. Venkite taškų, kuriuose funkcija neapibrėžta arba turi ypatumą – pavyzdžiui, f = ln(x² + y²) sprogsta ties pradžios tašku, o labai mažas vardiklis ten daro skaitinę išvestinę nepatikimą. Lokaliame ekstremume ar balno taške gradientas yra nulinis vektorius, todėl modulis lygus nuliui.
Dažnai užduodami klausimai
Tai sparčiausias funkcijos kitimo greitis tame taške. Gradiento vektorius rodo link sparčiausio augimo krypties, o |∇f| nurodo, kaip greitai f kyla ta kryptimi vienam atstumo vienetui.
Centriniai skirtumai leidžia įrankiui įvertinti gradientą bet kuriai pasirinktai funkcijai be simbolinio diferencijavimo. Su žingsniu h = 1e-5 jie tikslūs maždaug iki 1e-10 santykinės paklaidos glodžioms funkcijoms.
Kritiniuose taškuose – lokaliuose maksimumuose, minimumuose ir balno taškuose – abi dalinės išvestinės dingsta, todėl ∇f = (0, 0), o modulis lygus 0.
Taip pat žinomas kaip
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Gradiento vektoriaus skaičiuoklė [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/lt/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Gradiento vektoriaus skaičiuoklė." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/lt/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Gradiento vektoriaus skaičiuoklė," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/lt/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Gradiento vektoriaus skaičiuoklė}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/lt/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Ar ši skaičiuoklė jums padėjo?