Kvadratinių lygčių sprendiklis
Išspręskite bet kurią kvadratinę lygtį ir pamatykite jos šaknis bei diskriminantą.
Du realieji sprendiniai
- 1
b²
(−3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminantas
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Formulė
How this is calculated
Kvadratinė lygtis turi formą ax² + bx + c = 0, kur a, b ir c yra skaičiai, kuriuos įvedate. Koeficientas a daugina x² ir negali būti nulis — jei būtų, lygtis būtų tiesinė, o ne kvadratinė. Koeficientas b daugina x, o c yra atskiras laisvasis narys. Sprendiklis taiko kvadratinės lygties formulę x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, kuri pateikia tikslias x reikšmes, kuriose parabolė kerta nulį.
Pagrindinis dydis yra diskriminantas, D = b² − 4ac, apskaičiuojamas pirmiausia. Jo ženklas nulemia šaknų pobūdį be jokio papildomo darbo: D > 0 duoda dvi skirtingas realias šaknis, D = 0 duoda vieną pasikartojančią realią šaknį (parabolė tik paliečia x ašį), o D < 0 duoda kompleksiškai jungtinių šaknų porą, užrašomą kaip re ± im·i.
Įvestys yra gryni skaičiai be vienetų, todėl rezultatai išreiškiami tokiais vienetais, kokius numato jūsų uždavinys. Skaičiavimai naudoja standartinę slankiojo kablelio aritmetiką, todėl labai dideli koeficientai ar itin arti viena kitos esančios šaknys gali parodyti mažus apvalinimo skirtumus rodomose reikšmėse.
Pavyzdžiai
| Įvestis | Rezultatas |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Apie šią skaičiuoklę
Kvadratinės lygties sprendiklis randa x reikšmes, tenkinančias lygtį formos ax^2 + bx + c = 0, kur a, b ir c yra konstantos, o a nelygus nuliui. Šie sprendiniai vadinami lygties šaknimis, ir grafiškai tai yra taškai, kuriuose parabolė y = ax^2 + bx + c kerta horizontaliąją ašį.
Sprendiklis taiko kvadratinės lygties formulę: x = (-b plius arba minus iš (b^2 - 4ac) kvadratinė šaknis), padalyta iš 2a. Išraiška po kvadratine šaknimi, b^2 - 4ac, vadinama diskriminantu, ir ji nustato šaknų pobūdį dar nebaigus skaičiavimo. Jei diskriminantas teigiamas, yra dvi skirtingos realios šaknys; jei jis lygiai nulis, yra viena pasikartojanti reali šaknis; o jei neigiamas, yra dvi kompleksinės jungtinės šaknys, susijusios su menamuoju vienetu i.
Kad galėtumėte naudoti įrankį, įveskite tris koeficientus a, b ir c tiksliai taip, kaip jie pateikti jūsų lygtyje, įskaitant bet kokius minuso ženklus. Sprendiklis pateikia diskriminantą, nurodo, kiek realių ar kompleksinių šaknų egzistuoja, o tada pateikia pačias šaknis. Diskriminanto parodymas pirmiausia leidžia suprasti rezultatą, o ne tik perskaityti skaičių.
Rezultato aiškinimas – tai šaknų suderinimas su diskriminantu. Dvi realios šaknys reiškia, kad parabolė kerta ašį dviejose vietose; viena pasikartojanti šaknis reiškia, kad ji tik paliečia ašį savo viršūnėje; o kompleksinės šaknys reiškia, kad parabolė ašies visai nepasiekia. Realią šaknį visada galite patikrinti įstatydami ją atgal į pradinę lygtį, kuri turėtų grąžinti nulį.
Dažnos klaidos apima a įvedimą kaip nulį, o tai išvis nėra kvadratinė lygtis, o tiesinė, ir minuso ženklo praleidimą perrašant koeficientus, kas nepastebimai pakeičia atsakymą. Žmonės taip pat kartais pamiršta, kad atimtis formulės viduje gali apversti ženklus, ir kad neigiamas diskriminantas nereiškia, jog sprendinio nėra, o tik tai, kad sprendiniai yra kompleksiniai, o ne realūs.
Dažnai užduodami klausimai
Diskriminantas yra b^2 - 4ac, dalis po kvadratine šaknimi kvadratinės lygties formulėje. Jis nurodo šaknų pobūdį: teigiamas reiškia dvi skirtingas realias šaknis, nulis reiškia vieną pasikartojančią realią šaknį, o neigiamas reiškia dvi kompleksines jungtines šaknis.
Tada tai išvis nėra kvadratinė lygtis, o tiesinė, bx + c = 0, su vieninteliu sprendiniu x = -c/b. Tikrai kvadratinei lygčiai reikia, kad a būtų nelygus nuliui, antraip x^2 narys išnyksta ir kvadratinės lygties formulė negali būti taikoma.
Taip, kai diskriminantas lygus lygiai nuliui. Tokiu atveju formulė pateikia vieną pasikartojančią šaknį x = -b/(2a), ir grafiškai parabolė tik paliečia horizontaliąją ašį savo viršūnėje, o ne ją kerta.
Tai reiškia, kad lygtis neturi realių sprendinių, bet turi du kompleksinius, užrašomus kaip jungtiniai formos p plius arba minus qi. Parabolė niekada nekerta horizontaliosios ašies, tačiau šaknys vis tiek egzistuoja kompleksinių skaičių sistemoje.
Įstatykite ją atgal į pradinę lygtį ax^2 + bx + c. Jei vertė yra tikra šaknis, išraiška turėtų būti lygi nuliui (arba labai arti jo, atsižvelgiant į apvalinimą). Tai veikia abiem realioms šaknims.
Lygčiai ax^2 + bx + c = 0 dvi šaknys susideda iki -b/a, o sudaugintos duoda c/a. Šie santykiai, žinomi kaip Vietos formulės, suteikia greitą būdą patikrinti sprendiklio rezultatą neperdarant viso skaičiavimo.
Taip pat žinomas kaip
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kvadratinių lygčių sprendiklis [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/lt/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Kvadratinių lygčių sprendiklis." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/lt/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kvadratinių lygčių sprendiklis," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/lt/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Kvadratinių lygčių sprendiklis}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/lt/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Ar ši skaičiuoklė jums padėjo?