Virziena atvasinājuma kalkulators
Atrodiet, cik ātri funkcija f(x, y) mainās punktā, virzoties gar norādītu virzienu.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Kā darbojas šis kalkulators?
Virziena atvasinājums D_u f mēra, cik ātri f(x, y) mainās punktā, virzoties gar izvēlētu virzienu. Tas ir vienāds ar gradienta ∇f = (fx, fy) skalāro reizinājumu ar vienības virzienu û. Šis rīks novērtē gradientu ar centrālajām diferencēm, normalizē jūsu vektoru un ziņo D_u f kopā ar parciālajiem atvasinājumiem.
Formula
How this is calculated
Izvēlieties funkciju f(x, y) un punktu (x, y), pēc tam norādiet virziena vektoru (u1, u2). Kalkulators vispirms novērtē gradientu ∇f = (fx, fy), izmantojot simetrisko (centrālo) diferences koeficientu ar mazu soli h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) un fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Centrālās diferences tiek izmantotas, jo to kļūda ir O(h²), padarot tās daudz precīzākas par vienpusējām diferencēm.
Virziens pēc tam tiek normalizēts par vienības vektoru û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), jo virziena atvasinājums ir definēts vienības garuma virzienam. Rezultāts ir skalārais reizinājums D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, kas dod f momentāno izmaiņas ātrumu punktā šajā virzienā.
Vienības seko f: D_u f vienības ir f uz nobraukto garuma vienību. Ja virziena vektors ir nulles vektors, tā garums ir nulle un rezultāts nav definēts, tāpēc šis gadījums neatgriež atbildi. Maksimālais iespējamais virziena atvasinājums punktā ir vienāds ar gradienta lielumu |∇f| un rodas paša gradienta virzienā; virzoties perpendikulāri gradientam, iegūst nulli.
Biežāk uzdotie jautājumi
Virziena atvasinājums ir definēts gar vienības virzienu. Normalizējot (u1, u2) ar tā garumu, tiek noņemta vektora lieluma ietekme, tāpēc rezultāts atspoguļo tikai virzienu, nevis to, cik garš ir vektors.
Centrālajām diferencēm ar h = 1e-5 kļūda ir proporcionāla h², tāpēc gludām funkcijām gradients parasti ir precīzs līdz daudzām nozīmīgām zīmēm, cieši sakrītot ar precīzajiem analītiskajiem parciālajiem atvasinājumiem.
Paša gradienta ∇f virziens, kur D_u f ir vienāds ar gradienta lielumu |∇f|. Pretējais virziens dod visnegatīvāko vērtību, bet virzieni, kas perpendikulāri ∇f, dod nulli.
Pazīstams arī kā
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Virziena atvasinājuma kalkulators [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/lv/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Virziena atvasinājuma kalkulators." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/lv/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Virziena atvasinājuma kalkulators," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/lv/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Virziena atvasinājuma kalkulators}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/lv/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Vai šis kalkulators jums palīdzēja?