Kalkulator Pochodnej Kierunkowej
Znajdź, jak szybko zmienia się funkcja f(x, y) w danym punkcie, gdy poruszasz się wzdłuż określonego kierunku.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Jak działa ten kalkulator?
Pochodna kierunkowa D_u f mierzy, jak szybko f(x, y) zmienia się w danym punkcie podczas ruchu wzdłuż wybranego kierunku. Jest równa gradientowi ∇f = (fx, fy) przemnożonemu skalarnie przez jednostkowy wektor kierunku û. Narzędzie szacuje gradient metodą różnic centralnych, normalizuje Twój wektor i podaje D_u f wraz z pochodnymi cząstkowymi.
Wzór
How this is calculated
Wybierz funkcję f(x, y) i punkt (x, y), a następnie podaj wektor kierunku (u1, u2). Kalkulator najpierw szacuje gradient ∇f = (fx, fy) za pomocą symetrycznych (centralnych) ilorazów różnicowych z małym krokiem h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) oraz fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Różnice centralne są używane, ponieważ ich błąd jest rzędu O(h²), co czyni je znacznie dokładniejszymi niż jednostronne.
Następnie kierunek jest normalizowany do wektora jednostkowego û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), ponieważ pochodna kierunkowa jest zdefiniowana dla kierunku jednostkowej długości. Wynikiem jest iloczyn skalarny D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, który podaje chwilową szybkość zmiany f w danym punkcie w tym kierunku.
Jednostki zależą od f: D_u f ma jednostki f na jednostkę długości. Jeśli wektor kierunku jest wektorem zerowym, jego długość wynosi zero i wynik jest niezdefiniowany — w takim przypadku kalkulator nie zwraca odpowiedzi. Największa możliwa pochodna kierunkowa w danym punkcie jest równa wartości bezwzględnej gradientu |∇f| i osiągana jest w kierunku samego gradientu; ruch prostopadły do gradientu daje zero.
Najczęściej zadawane pytania
Pochodna kierunkowa jest zdefiniowana wzdłuż kierunku jednostkowego. Normalizacja (u1, u2) przez jego długość usuwa wpływ wartości bezwzględnej wektora, dzięki czemu wynik odzwierciedla wyłącznie kierunek, a nie długość wektora.
Różnice centralne z h = 1e-5 mają błąd proporcjonalny do h², więc dla gładkich funkcji gradient jest typowo dokładny do wielu cyfr znaczących, bardzo blisko dokładnych analitycznych pochodnych cząstkowych.
Kierunek samego gradientu ∇f, gdzie D_u f jest równa wartości bezwzględnej gradientu |∇f|. Kierunek przeciwny daje najbardziej ujemną wartość, a kierunki prostopadłe do ∇f dają zero.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator Pochodnej Kierunkowej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator Pochodnej Kierunkowej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator Pochodnej Kierunkowej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kalkulator Pochodnej Kierunkowej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?