Kalkulator pochodnych cząstkowych
Wybierz funkcję dwóch zmiennych i punkt (x, y), by numerycznie oszacować jej pochodne cząstkowe ∂f/∂x i ∂f/∂y.
Function f(x,y)
Rate of change of f with respect to x
- 1
f(x+h, y) with h = 1×10⁻⁵
f(1,00001, 2) = 5,00002 - 2
f(x-h, y) with h = 1×10⁻⁵
f(0,99999, 2) = 4,99998 - 3
Numerator = f(x+h,y) − f(x-h,y)
5,00002 − 4,99998 = 0,00004Central difference cancels the first-order error term for better accuracy. - 4
∂f/∂x ≈ numerator ÷ (2h)
0,00004 ÷ 0,00002 = 2
Jak działa ten kalkulator?
Pochodna cząstkowa podaje nachylenie f(x,y) wzdłuż jednej osi przy zafixowanej drugiej zmiennej. Narzędzie oblicza ∂f/∂x i ∂f/∂y w wybranym punkcie za pomocą wzoru różnic centralnych z krokiem h = 1e-5, dając dokładne numeryczne nachylenia dla wybranej funkcji.
Wzór
How this is calculated
Pochodna cząstkowa mierzy, jak zmienia się funkcja wielu zmiennych, gdy porusza się tylko jedna zmienna, a pozostałe są stałe. Wybierz funkcję f(x,y) z listy i podaj współrzędne punktu x i y, w którym chcesz wyznaczyć nachylenia.
Każda pochodna cząstkowa jest przybliżana wzorem różnic centralnych. Aby uzyskać ∂f/∂x, utrzymujemy y stałe i obliczamy [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h); dla ∂f/∂y utrzymujemy x stałe i obliczamy [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Krok h = 1e-5 jest wystarczająco mały, by śledzić prawdziwe nachylenie stycznej, przy zachowaniu niskiego błędu zaokrąglenia zmiennoprzecinkowego, a symetryczna (centralna) forma eliminuje wiodący człon błędu, dając dokładność drugiego rzędu.
Dane wejściowe to bezwymiarowe liczby rzeczywiste, więc pochodne mają jednostki f na jednostkę x lub y. Oszacowania są bardzo dokładne dla gładkich funkcji oferowanych tutaj. Uwagi dotyczące przypadków brzegowych: bardzo duże x w eˣ·y może powodować przepełnienie, a w pobliżu ostrych cech pochodna numeryczna jest jedynie przybliżeniem dokładnej wartości analitycznej.
Najczęściej zadawane pytania
Jest to pochodna funkcji wielu zmiennych względem jednej zmiennej przy traktowaniu wszystkich pozostałych zmiennych jako stałych, opisująca nachylenie powierzchni wzdłuż tej osi.
Różnica centralna [f(x+h) − f(x−h)] / (2h) eliminuje człon błędu pierwszego rzędu, więc jest dokładna drugiego rzędu i znacznie lepiej odpowiada prawdziwemu nachyleniu niż różnica w przód lub w tył.
Dla gładkich funkcji oferowanych tutaj numeryczne oszacowanie zazwyczaj zgadza się z dokładną analityczną pochodną na kilka miejsc dziesiętnych, ograniczone jedynie błędem zaokrąglenia zmiennoprzecinkowego.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator pochodnych cząstkowych [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/partial-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator pochodnych cząstkowych." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/partial-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator pochodnych cząstkowych," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/partial-derivative-calculator
@misc{wecalculate_partial_derivative_calculator, title = {Kalkulator pochodnych cząstkowych}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/partial-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?