Kalkulator drugiej pochodnej
Kalkulator numerycznie szacuje drugą pochodną f″(a) wybranej funkcji w punkcie i informuje, czy krzywa jest w tym miejscu wklęsła w górę, czy w dół.
Function f(x)
Concave up
- 1
f(a)
f(x) = x² at x = 1 = 1 - 2
f(a + h)
h = 0.0001, f(1 + 0.0001) = 1,0002Small step h = 1×10⁻⁴ used for numerical differentiation. - 3
f(a − h)
f(1 − 0.0001) = 0,9998 - 4
f''(a) = (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) ÷ h²
(1,0002 − 2 × 1 + 0,9998) ÷ 0 = 2
Jak działa ten kalkulator?
Druga pochodna f''(a) mierzy, jak zmienia się nachylenie funkcji w danym punkcie. Narzędzie szacuje ją numerycznie jako (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h². Jeśli f''(a) jest dodatnia, krzywa jest wklęsła w górę w punkcie a; jeśli ujemna — wklęsła w dół; wartość bliska zeru sugeruje punkt przegięcia.
Wzór
How this is calculated
Wybierz funkcję f(x) z listy i punkt a. Kalkulator używa wzoru centralnych różnic drugiego rzędu f''(a) ≈ (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h² z małym krokiem h = 1e-4, który przybliża dokładną drugą pochodną z dokładnością drugiego rzędu względem h.
Znak f''(a) opisuje wklęsłość: wartość dodatnia oznacza, że wykres zagina się ku górze (wklęsły w górę, jak miseczka) w okolicach a; wartość ujemna oznacza, że zagina się ku dołowi (wklęsły w dół); wartość zasadniczo bliska zeru sugeruje punkt przegięcia lub lokalnie prostoliniowy obszar. Wynik i etykieta wklęsłości aktualizują się łącznie.
Dane wejściowe to bezjednostkowe liczby rzeczywiste. Punkt a musi leżeć w dziedzinie funkcji — na przykład ln(x) i √x wymagają a > 0, a 1/x wymaga a ≠ 0. Ponieważ metoda jest numeryczna, wyniki dla funkcji o bardzo dużej krzywiźnie lub obliczane w pobliżu osobliwości mogą zawierać małe błędy zaokrągleń; narysowany wykres krzywej w okolicach a pomaga wizualnie ocenić giętość.
Najczęściej zadawane pytania
Dodatnia druga pochodna oznacza, że funkcja jest wklęsła w górę (wygina się ku górze) w tym punkcie, natomiast wartość ujemna oznacza wklęsłość w dół. Wartość bliska zeru często wskazuje na punkt przegięcia.
Używa wzoru różnic skończonych z małym krokiem h zamiast symbolicznego różniczkowania, więc istnieje mały błąd numeryczny. Dla gładkich funkcji z dala od osobliwości szacowanie jest bardzo bliskie dokładnej wartości.
Tylko punktów wewnątrz dziedziny funkcji. Dla ln(x) i √x wybierz a większe od 0, a dla 1/x unikaj a = 0; w przeciwnym razie funkcja jest niezdefiniowana i żaden wynik nie jest wyświetlany.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator drugiej pochodnej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/second-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator drugiej pochodnej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/second-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator drugiej pochodnej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/second-derivative-calculator
@misc{wecalculate_second_derivative_calculator, title = {Kalkulator drugiej pochodnej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/second-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?