Kalkulator pochodnej numerycznej
Oszacuj chwilowe nachylenie funkcji w dowolnym punkcie za pomocą prostego, dokładnego wzoru numerycznego.
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0,00001) = 4,00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0,00001) = 3,99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4,00004 − 3,99996 = 0,00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0,00008 ÷ (2 × 0,00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
Jak działa ten kalkulator?
Narzędzie szacuje pochodną funkcji w punkcie a za pomocą wzoru różnic centralnych f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Wybierz funkcję, punkt i mały krok h (domyślnie 1e-5). Zwracane jest nachylenie stycznej, dokładne do rzędu h², bez konieczności stosowania rachunku symbolicznego.
Wzór
How this is calculated
Wybierz funkcję f z listy, punkt a, w którym chcesz wyznaczyć nachylenie, i mały krok h. Kalkulator oblicza f w a+h i a−h, a następnie stosuje wzór różnic centralnych f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Uśrednia to nachylenia w przód i w tył, eliminując człon błędu pierwszego rzędu, więc oszacowanie jest dokładne do rzędu h² — znacznie lepiej niż różnica jednostronna.
Metoda różnic centralnych nie wymaga symbolicznej algebry — tylko próbkuje funkcję. Krok rzędu h = 1e-5 równoważy błąd obcięcia (zbyt duże h) i błąd zaokrąglenia zmiennoprzecinkowego (zbyt małe h). Dla gładkich funkcji daje to zazwyczaj 6 lub więcej poprawnych cyfr. Wynikiem jest szacowane nachylenie stycznej do y = f(x) w punkcie x = a.
Założenia: f musi być zdefiniowane i skończone w a, a+h i a−h. Dla ln x i sqrt x punkt a musi być dodatni; dla 1/x punkt a musi być niezerowy. W pobliżu osobliwości, załamań lub bardzo stromych obszarów oszacowanie pogarsza się, ponieważ funkcja nie jest już gładka w przedziale próbkowania.
Najczęściej zadawane pytania
Różnica centralna (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) jest dokładna do rzędu h², podczas gdy różnica w przód (f(a+h) − f(a)) / h jest tylko rzędu h. Dla tego samego kroku wzór centralny daje znacznie więcej poprawnych cyfr.
Wartość około 1e-5 sprawdza się dobrze dla większości gładkich funkcji. Zbyt duże h zwiększa błąd przybliżenia; zbyt małe h, i dominuje błąd zaokrąglenia zmiennoprzecinkowego. Jeśli wyniki wyglądają na zaszumione, spróbuj nieznacznie zwiększyć h.
Te funkcje są niezdefiniowane poza swoją dziedziną. ln x i sqrt x wymagają a > 0, a 1/x wymaga a ≠ 0. Punkty próbkowania a±h muszą też pozostawać w dziedzinie.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator pochodnej numerycznej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator pochodnej numerycznej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator pochodnej numerycznej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/numerical-derivative-calculator
@misc{wecalculate_numerical_derivative_calculator, title = {Kalkulator pochodnej numerycznej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/numerical-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?